Cum am parcurs deja materia de clasa a VI-a (de unul singur, nu încă la clasă), m-am gândit să pun cap la cap toată partea teoretică ce priveşte geometria şi, desigur, să o public pe Internet, pe blogul meu. În felul acesta îmi va fi mie de folos, cândva în viitor, dar mai ales sper să folosească cât mai multor elevi interesaţi.
Definiţii
Punct – o înţepătură de ac fără grosime, pe o suprafaţă.
Dreapta – un fir de aţă perfect întins, fără grosime, infinit.
Semidreapta – o parte dintr-o dreaptă, limitată la unul dintre capete, numit originea semidreptei.
Segment – porţiunea dintr-o dreaptă cuprinsă între două puncte de pe ea.
Puncte coliniare – trei sau mai multe puncte ce se află pe aceeaşi dreaptă trasată sau nu.
Puncte identice – două puncte ce se află în acelaşi loc.
Puncte distincte – două puncte ce nu se află în acelaşi loc.
Drepte concurente – două drepte coplanare ce au un punct comun.
Drepte paralele – două drepte coplanare ce nu au un punct comun.
Drepte perpendiculare – două drepte coplanare concurente care, intersectate, formează
patru unghiuri drepte.
Piciorul dreptei perpendiculare – punctul ce rezultă din intersecţia a două drepte perpendiculare.
Semidrepte opuse – două semidrepte ale căror reuniune rezultă o dreaptă.
Segmente congruente – două segmente care au aceeaşi măsură.
Măsura segmentului – numărul care arată de câte ori se cuprinde o unitate de măsură convenţională într-un segment.
Mijlocul segmentului – punctul aflat pe segment la distanţe egale de capetele acestuia.
Jumătatea segmentului – numărul care se obţine prin împărţirea măsurii segmentului la doi.
Mediatoarea segmentului – dreapta perpendiculară dusă prin mijlocul segmentului.
Unghi – reuniunea a două semidrepte cu aceeaşi origine.
Bisectoarea unghiului – semidreapta aflată în interiorul unghiului care determină cu laturile acestuia două unghiuri congruente.
Unghiuri adiacente – două unghiuri ce au acelaşi vârf, o latură comună şi interioare disjuncte.
Unghiuri complementare – două unghiuri cu suma totală de 90 de grade.
Unghiuri suplementare – două unghiuri cu suma totală de 180 de grade.
Unghi ascuţit – un unghi mai mic decât un unghi drept.
Unghi drept – jumătate din unghiul maxim.
Unghi obtuz – un unghi mai mare decât un unghi drept.
Unghi nul – un unghi ale cărui semidrepte sunt identice.
Unghi maxim – un unghi ale cărui semidrepte sunt opuse.
Unghiuri opuse la vârf – unghiurile care au acelaşi vârf şi laturile opuse (semidrepte
opuse).
Unghiuri în jurul unui punct – două sau mai multe unghiuri consecutiv adiacente.
Unghi exterior triunghiului – unghiul suplementar si adiacent unui unghi al unui triunghi.
Triunghi – figura geometrică formată din cele trei segmente determinate de trei puncte necoliniare.
Triunghi oarecare – triunghiul cu lungimile laturilor diferite.
Triunghi isoscel – triunghiul cu două laturi congruente.
Triunghi echilateral – triunghiul cu toate laturile congruente.
Triunghi ascuţitunghic – triunghiul cu toate unghiurile ascuţite.
Triunghi dreptunghic – triunghiul cu unul dintre unghiuri drept.
Triunghi obtuzunghic – triunghiul cu unul dintre unghiuri obtuz.
Perimetrul triunghiului – suma lungimilor laturilor unui triunghi.
Triunghiuri congruente – două triunghiuri cu fiecare latură a unuia, congruentă cu una a celuilalt şi fiecare unghi al unuia, congruent cu unul al celuilalt.
Mediana triunghiului – segmentul care uneşte un vârf al unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.
Înălţimea triunghiului – segmentul ce uneşte un vârf al triunghiului cu piciorul dreptei perpendiculare duse din acel vârf pe latura opusă.
Bisectoarea triunghiului – segmentul de pe bisectoarea unui unghi al unui triunghi, cuprins între vârful unghiului şi latura opusă.
Centrul de greutate al triunghiului – punctul de intersecţie a medianelor unui triunghi.
Cerc - mulțimea tuturor punctelor din plan, egal depărtate de un punct fix numit centru.
Rază – dreapta ce unește centrul cercului de unul din punctele sale.
Diametru - orice segment care are ca extremități două puncte de pe cerc și trece prin centrul cercului.
Teoreme
Teorema punctelor de pe mediatoarea segmentului – orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului.
Teorema punctelor de pe bisectoarea unghiului – orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de capetele unghiului.
Teorema unghiurilor opuse la vârf – dacă două unghiuri sunt opuse la vârf, atunci ele sunt congruente.
Teorema unghiurilor în jurul unui punct – dacă două sau mai multe unghiuri sunt în jurul unui punct, atunci suma lor este egală cu 360 de grade.
Teorema sumei unghiurilor unui triunghi – orice triunghi are suma unghiurilor egală cu 180 de grade.
Cazurile de congruenţă la triunghiuri:
1 – dacă două triunghiuri au câte două laturi şi unghiul format de acestea respectiv congruente.
2 – dacă două triunghiuri au câte două unghiuri şi latura lor comună respectiv congruente.
3 – dacă două triunghiuri au toate laturile respectiv congruente.
Teorema unghiurilor de la baza triunghiului isoscel – într-un triunghi isoscel, unghiurile opuse laturilor congruente sunt congruente.
Teorema unghiurilor triunghiului echilateral – într-un triunghi echilateral, toate unghiurile acestuia au măsura egală cu 60 de grade.
Cazurile de congruenţă la triunghiul dreptunghic:
1 – dacă două triunghiuri dreptunghice au catetele respectiv congruente.
2 – dacă două triunghiuri dreptunghice au câte o catetă şi un unghi ascuţit alăturat acesteia respectiv congruente.
3 – dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele şi câte un unghi ascuţit respectiv congruente.
4 – dacă două triunghiuri dreptunghice au câte o catetă şi un unghi opus ei respectiv congruente.
5 – dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele şi câte o catetă respectiv congruente.
Teorema unghiurilor de 30 de grade – dacă într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30 de grade, lungimea catetei opuse acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
Actualizare iulie 2025:
11. Axioma paralelor – printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la aceasta.
12. Teorema unghiurilor alterne: orice două drepte paralele formează cu o secantă perechi de unghiuri alterne interne congruente.
13. Criterii de paralelism:
- dacă unghiuri alterne interne congruente
- dacă unghiuri alterne externe congruente
- dacă unghiuri corespondente congruente
- unghiuri interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare (3 și 6 sau 4 și 5)
- unghiuri externe de aceeași parte a secantei sunt suplimentare (1 cu 8 sau 2 cu 7)
14. Triunghiuri congruente – două triunghiuri cu fiecare latură a unuia, congruentă cu una a celuilalt şi fiecare unghi al unuia, congruent cu unul al celuilalt.
15. Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul dintre lungimile laturilor care formează unghiul drept.
16. Mediatoarea – dreaptă perpendiculară pe mijlocul unui segment.
17. Două puncte sunt simetrice față de o dreaptă, dacă dreapta este mediatoarea segmentului determinat de cele două puncte.
18. Proprietățile simetriei față de o dreaptă:
- conservă coliniaritatea (dacă trei puncte sunt coliniare și simetricele lor față de o dreaptă sunt coliniare)
- conservă lungimile (dacă două segmente sunt simetrice față de o dreaptă, atunci lungimile lor sunt egale)
- conservă măsurile unghiurilor (dacă două unghiuri sunt simetrice față de o dreaptă, atunci măsurile lor sunt egale)
CERCUL
19. Lungimea cercului = 2πr, unde π=3,14
20. Unghiul la centru – are vârful în centrul cercului, iar laturile lui intersectează cercul în două puncte. Arc de cerc determinat de unghiul la centru.
21. Arc de cerc mic (0-180*) și mare (>180*)
22. Dreaptă secantă – două puncte comune cu un cer. Dreaptă tangentă – un singur punct comun cu un cerc.
23. Cercul – mulțimea punctelor aflate la distanță egală de un punct dat.
24. Centrul – raza – coarda – diametrul – punctele diametral opuse (capete diametru) – semicercul.
25. Prin 3 puncte necoliniare trece un cerc și numai unul. Două cercuri pot avea cel mult 2 puncte comune.
TEOREME:
⸎ Teorema punctelor de pe mediatoarea segmentului – orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului.
⸎ Teorema punctelor de pe bisectoarea unghiului – orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de capetele unghiului.
⸎ Teorema unghiurilor opuse la vârf – dacă două unghiuri sunt opuse la vârf, atunci ele sunt congruente.
⸎ Teorema unghiurilor în jurul unui punct – dacă două sau mai multe unghiuri sunt în jurul unui punct, atunci suma lor este egală cu 360 de grade.
⸎ Teorema sumei unghiurilor unui triunghi – orice triunghi are suma unghiurilor egală cu 180 de grade.
⸎ Cazurile de congruentă la triunghiuri:
1 – dacă două triunghiuri au câte două laturi și unghiul format de acestea respectiv congruente.
2 – dacă două triunghiuri au câte două unghiuri şi latura lor comună respectiv congruente.
3 – dacă două triunghiuri au toate laturile respectiv congruente.
⸎ Teorema unghiurilor de la baza triunghiului isoscel – într-un triunghi isoscel, unghiurile opuse laturilor congruente sunt congruente.
⸎ Teorema unghiurilor triunghiului echilateral – într-un triunghi echilateral, toate unghiurile acestuia au măsura egală cu 60 de grade.
⸎ Teorema unghiurilor de 30 de grade – într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30 de grade, lungimea catetei opuse acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
⸎ Teorema unghiurilor alterne: orice două drepte paralele formează cu o secantă perechi de unghiuri alterne interne congruente.
TRIUNGHIUL
1. Perimetrul unui triunghi – P = a + b + c. Semiperimetrul = P/2
2. Triunghi isoscel și triunghi echilateral. Triunghi oarecare sau scalen.
3. Triunghi ascuțitunghic – toate unghiurile < 90*. Triunghi dreptunghic și optuzunghic. Obtuzunghic isoscel (unghi > 90* și dreptele congruente). Dreptunghic isoscel (unghi – 90* și dreptele congruente).
4. În orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor este egală cu 180*.
5. Unghiul exterior – un unghi se numește exterior al unui triunghi dacă este adiacent și suplementar cu un unghi al triunghiului.
6. Teorema unghiului exterior – un unghi exterior al unui triunghi are ca măsură suma unghiurilor interioare, neadiacente, cu el.
7. Numere direct proporționale. Ex: x/2=y/3=z/5=(x+y+z)/(2+3+5)
8. Inegalitatea triunghiului: suma lungimilor oricăror două laturi este mai mare decât cea de-a treia latură.
8. Într-un triunghi, bisectoarele unghiurilor sunt concurente într-un punct I, care este centrul cercului înscris în triunghi.
9. Punctul de concurență al bisectoarelor este situat la egală distanță de laturile triunghiului.
10. Distanțele de la intersecția bisectoarelor la laturile triunghiului sunt egale cu raza cercului înscris.
Mediatoarea
11. Mediatoarea unui segment – dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul acestuia.
Proprietăți: orice punct de pe mediatoare – egal depărtat de capetele segmentului.
Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente într-un punct, egal depărtat de vârfurile triunghiului.
Așadar, acest punct este centrul cercului circumscris triunghiului.
Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei.
Înălțimea unui triunghi
12. Înălțimea – segmentul determinat de un vârf al triunghiului și piciorul perpendicularei pe latura opusă.
13. Aria unui dreptunghi – lungimea x lățimea. Aria triunghiului – Aria.dr/2
14. Aria triunghiului = (înălțimea x baza) / 2; Aria tr dreptunghic: semiprodusul catetelor (cxc/2)
15. Ortocentrul – punctul de intersecție al înălțimilor
16. Unghiul care nu este nici nul nici alungit se numeste unghi propriu.
Medianele
17. Mediana unui triunghi – segmentul determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse.
18. G este punctul în care sunt concurente medianele și se numește centrul de greutate al triunghiului.
Centrul de greutate se află, pe fiecare mediană, la două treimi de vârful triunghiului și o treime de bază.
19. Într-un triunghi, orice mediană determină două triunghiuri cu arii egale, denumite triunghiuri echivalente.
CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR. CRITERII DE CONGRUENȚĂ
20. Două triunghiuri care au unghiurile respectiv congruente și laturile respectiv congruente sunt congruente.
21. ⸎ Cazurile de congruentă la triunghiuri:
1 – dacă două triunghiuri au câte două laturi și unghiul format de acestea respectiv congruente.
2 – dacă două triunghiuri au câte două unghiuri şi latura lor comună respectiv congruente.
3 – dacă două triunghiuri au toate laturile congruente.
CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHICE. CRITERII DE CONGRUENȚĂ.
22. Triunghiul care are un unghi drept se numește triunghi dreptunghic. Latura care se opune unghiului drept se numește ipotenuză. Laturile care formează unghiul drept se numesc catete.
⸎ Cazurile de congruență la triunghiul dreptunghic:
1 – dacă două triunghiuri dreptunghice au catetele respectiv congruente.
2 – dacă două triunghiuri dreptunghice au câte o catetă şi un unghi ascuţit alăturat acesteia respectiv congruente.
3 – dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele şi câte un unghi ascuţit respectiv congruente.
4 – dacă două triunghiuri dreptunghice au câte o catetă şi un unghi opus ei respectiv congruente.
5 – dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele şi câte o catetă respectiv congruente.
⸎ Teorema unghiurilor de la baza triunghiului isoscel – într-un triunghi isoscel, unghiurile opuse laturilor congruente sunt congruente.
⸎ Teorema unghiurilor triunghiului echilateral – într-un triunghi echilateral, toate unghiurile acestuia au măsura egală cu 60 de grade.
⸎ Teorema unghiurilor de 30 de grade – într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30 de grade, lungimea catetei opuse acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
