În acest articol vom explica noțiunile de energie electrică și putere electrică într-un circuit de curent continuu. Vom porni de la un circuit simplu format dintr-un generator și un consumator, apoi vom arăta în ce condiții puterea transferată de generator către consumator este maximă.
Curentul electric reprezintă mișcarea ordonată a purtătorilor de sarcină electrică. În metale, acești purtători sunt electronii. Deplasarea sarcinilor electrice are loc sub acțiunea câmpului electric, care transmite energia de la generator către consumatori. În consumatori, energia electrică poate fi transformată în energie termică, energie luminoasă, energie chimică, energie mecanică sau în alte forme de energie.
De exemplu, într-un reșou, energia electrică se transformă în energie termică. Într-un bec, o parte din energia electrică se transformă în lumină, iar restul în căldură. Într-un acumulator pus la încărcat, energia electrică se transformă în energie chimică.
Circuitul electric simplu
Să considerăm un circuit format dintr-un generator de tensiune electromotoare E, cu rezistență internă r, conectat la un consumator de rezistență R.
Rezistența R reprezintă circuitul exterior, adică partea de circuit în care vrem să folosim energia electrică. Rezistența r este rezistența internă a generatorului. Ea nu este utilă pentru consumator, dar există în orice generator real și produce pierderi de energie.
Dacă prin consumator trece o sarcină electrică q, iar tensiunea la bornele consumatorului este U, atunci energia electrică transferată consumatorului este:
W = q·U
unde:
W este energia electrică, măsurată în jouli, J;
q este sarcina electrică, măsurată în coulombi, C;
U este tensiunea electrică, măsurată în volți, V.
Această energie nu dispare. Ea se transformă în alte forme de energie, de exemplu în căldură, lumină sau energie chimică.
Energia consumată în circuitul exterior
Intensitatea curentului electric este definită ca sarcina electrică transportată în unitatea de timp: I = q/t.
De aici rezultă: q = I·t.
Înlocuind în formula energiei, obținem: W = U·I·t.
Aceasta este energia transformată în circuitul exterior, adică în consumator.
Dacă aplicăm legea lui Ohm pentru consumator, U = R·I
atunci energia poate fi scrisă și astfel: W = R·I²·t
De asemenea, deoarece I = U/R putem scrie energia și sub forma: W = (U²/R)·t.
Așadar, energia electrică transformată în consumator poate fi exprimată prin oricare dintre formulele:
W = U·I·t
W = R·I²·t
W = (U²/R)·t
Alegem formula cea mai convenabilă în funcție de mărimile cunoscute în problemă.
Puterea electrică în circuitul exterior
Puterea reprezintă energia transformată în unitatea de timp. Cu alte cuvinte, puterea arată cât de repede se transferă sau se transformă energia.
Formula generală este: P = W/t
În cazul unui consumator electric, puterea este: P = U·I
Folosind legea lui Ohm, putem scrie puterea și în alte forme:
P = R·I²
P = U²/R
Aceste formule se referă la puterea consumată în circuitul exterior, adică la puterea utilă pentru consumator.
Pentru întregul circuit, curentul este determinat de tensiunea electromotoare a generatorului și de rezistența totală a circuitului: I = E/(R + r).
Rezistența totală este R + r, deoarece rezistența consumatorului și rezistența internă a generatorului sunt în serie.
Puterea totală furnizată de generator este: Ptotal = E·I.
sau, folosind legea lui Ohm pentru întregul circuit:
Ptotal = I²·(R + r)
Această putere totală se împarte în două părți: puterea utilă, transferată consumatorului: Putil = I²·R și puterea pierdută pe rezistența internă a generatorului: Ppierderi = I²·r.
Prin urmare: Ptotal = Putil + Ppierderi, adică: E·I = I²·R + I²·r.
Unități de măsură
Unitatea de măsură pentru energie în Sistemul Internațional este joule-ul, J. Unitatea de măsură pentru putere este wattul, W.
Un watt înseamnă un joule pe secundă: 1 W = 1 J/s. Prin urmare: 1 J = 1 W·s.
Energia electrică poate fi exprimată și în watt-secundă, W·s, deoarece această unitate este echivalentă cu joule-ul.
În practică, pentru consumul de energie electrică se folosește mai ales kilowatt-oră, kWh. Aceasta este unitatea care apare pe factura de energie electrică.
Calculul este: 1 kWh = 1000 W · 3600 s adică: 1 kWh = 3.600.000 J sau 1 kWh = 3,6·10⁶ J.
Transferul maxim de putere
Ne interesează acum o întrebare importantă: pentru ce valoare a rezistenței consumatorului R este puterea primită de acesta maximă?
Puterea utilă, adică puterea transferată circuitului exterior, este: P = R·I².
Dar curentul prin circuit este I = E/(R + r). Înlocuind această expresie în formula puterii, obținem P = R·[E/(R + r)]², adică P = R·E²/(R + r)².
Aceasta este formula care arată cum depinde puterea transferată consumatorului de rezistența R.
În această expresie, E și r sunt considerate constante. Singura mărime care variază este R.
Așadar, avem funcția P(R) = R·E²/(R + r)².
Trebuie să aflăm pentru ce valoare a lui R această funcție are valoare maximă.
Metoda 1: demonstrație fără derivate
Pornim de la formula P = R·E²/(R + r)².
O putem rescrie astfel: P = E²/[R + 2r + r²/R].
Observăm că E² este constant. Prin urmare, pentru ca puterea P să fie maximă, numitorul trebuie să fie minim.
Numitorul este: R + 2r + r²/R.
Termenul 2r este constant, deci trebuie să minimizăm expresia: R + r²/R.
Această expresie este suma a două numere pozitive: R și r²/R.
Produsul lor este constant: R · r²/R = r².
În matematică se arată că suma a două numere pozitive cu produs constant este minimă atunci când cele două numere sunt egale.
Prin urmare, expresia R + r²/R este minimă atunci când: R = r²/R.
Înmulțind cu R, obținem: R² = r².
Cum rezistențele sunt pozitive, rezultă: R = r.
Așadar, puterea transferată consumatorului este maximă atunci când rezistența consumatorului este egală cu rezistența internă a generatorului.
Aceasta este condiția de adaptare a sarcinii: R = r.
În acest caz, puterea maximă este: Pmax = E²/(4r).
Metoda 2: demonstrație cu derivate
Pornim de la aceeași funcție: P(R) = R·E²/(R + r)².
Derivăm funcția în raport cu R: dP/dR = E²·(r − R)/(R + r)³.
Derivata se anulează atunci când: r − R = 0 deci: R = r.
Pentru R < r, derivata este pozitivă, deci puterea crește.
Pentru R > r, derivata este negativă, deci puterea scade.
Prin urmare, funcția atinge un maxim pentru: R = r.
Rezultatul este același: Pmax = E²/(4r)
Interpretarea fizică
Când R este foarte mică, curentul prin circuit este mare, dar aproape toată energia se pierde pe rezistența internă a generatorului. Consumatorul primește o putere mică.
Când R este foarte mare, pierderile interne sunt mici, dar curentul prin circuit este foarte mic. Și în acest caz consumatorul primește o putere mică.
Între aceste două situații există un punct optim. Acesta apare atunci când: R = r.
În acel moment, consumatorul primește cea mai mare putere posibilă de la generator.
Două rezistențe diferite pot primi aceeași putere
Dacă reprezentăm grafic puterea P în funcție de rezistența consumatorului R, observăm că pot exista două valori diferite ale lui R pentru care puterea transferată consumatorului este aceeași.
Dacă aceste două valori sunt R₁ și R₂, atunci ele au proprietatea: R₁·R₂ = r².
Această relație se poate obține pornind de la formula: P = R·E²/(R + r)².
Dacă două rezistențe diferite primesc aceeași putere, atunci: R₁·E²/(R₁ + r)² = R₂·E²/(R₂ + r)².
După simplificare și prelucrare algebrică, rezultă: R₁·R₂ = r².
Această proprietate arată simetria curbei puterii în raport cu valoarea optimă R = r.
Randamentul în cazul transferului maxim de putere
Randamentul unui circuit arată ce parte din energia totală furnizată de generator ajunge efectiv la consumator.
Randamentul este: η = Putil/P_total.
Puterea utilă este: P_util = I²·R.
Puterea totală furnizată de generator este: Ptotal = I²·(R + r).
Prin urmare: η = I²·R / [I²·(R + r)].
După simplificare: η = R/(R + r).
Pentru cazul transferului maxim de putere, avem: R = r.
Atunci: η = r/(r + r) adică: η = 1/2.
Prin urmare, randamentul este de 50%.
Acest rezultat este important: transferul maxim de putere nu înseamnă transfer cu randament maxim. Dimpotrivă, în condiția R = r, jumătate din puterea totală furnizată de generator se pierde pe rezistența internă, iar cealaltă jumătate ajunge la consumator.
De aceea, în rețelele electrice de distribuție nu se urmărește transferul maxim de putere în acest sens, ci un randament cât mai mare. Transferul maxim de putere este însă important în electronică și telecomunicații, unde adaptarea impedanțelor permite transferul eficient al semnalului între etaje de circuit.
Concluzie
Puterea transferată de un generator de curent continuu către un consumator depinde de rezistența consumatorului și de rezistența internă a generatorului.
Pentru un circuit simplu, format dintr-un generator cu tensiune electromotoare E, rezistență internă r și consumator de rezistență R, puterea transferată consumatorului este: P = R·E²/(R + r)².
Această putere este maximă atunci când: R = r.
Valoarea maximă a puterii este: Pmax = E²/(4r).
În această situație, generatorul lucrează în sarcină adaptată, iar randamentul circuitului este de 50%.
Prin urmare, condiția de transfer maxim de putere este utilă atunci când vrem să obținem puterea cea mai mare în consumator, dar nu este condiția de randament maxim al circuitului.
