Exista numarul 0,(0)1 ? Daca nu, de ce?

Question

Pun aceasta intrebare pentru ca daca ar exista atunci: 0,(9) + 0,(0)1 = 1 deci numarul 0,(9) diferit de 1.

Comments

obs. nu exista un prim numar dupa 0. Daca "a" este primul nr. dupa 0, a diferit de 0 exista  a/2 cuprins intre 0 si a.

---

Sau a/2 = ø, adica nu se poate, exact ca si 0/2 = nu are sens.

---

0/2 nu are sens ?. Oricum  daca presupunem ca  0.(9)=m/n subunitara si se face impartirease vede ca m/n=1 .

---

Cateodata te si miri de ce minunatii contemporane sunt capabili oamenii 0,(9)=1 e doar una si e rezultata din incapacitatea gandirii autorului in termeni abstracti. 0,(9) o sa ramana 0,(9) pentru totdeauna si 1 va fi 1 pentru totdeauna.

0,(9) doar aproximat poate fi 1 insa el sub forma in care e nici macar nu e numar! E un 0 urmat de o infinitate de 9, nu 10, nu 100, ci ceva ce nu se mai termina. Cum sa fii sa gandesti ca acea insiruire infinita e 1? Raspundeti-va voi. Numai pe americanii de pe youtube ii vezi ca unul demonstreaza ca 0,(9) = 1 si altul ca 0,(9)!=1.

Ma gandesc sa-i lasam pe americani sa-si debiteze singuri aberatiile si noi sa ramanem in sfera realului.

---

Vasile Misu, îmi pare rău, greșiți. Numărul scris 0,(9) este egal cu 1, egalitate exactă. Se poate demonstra într-o mulțime de feluri. Vedeți aici:
http://www.scientia.ro/qa/17758/fractie-periodica-0-999-1-sau-nu

Iar dacă credeți că cele două numere sînt diferite, aștept să-mi spuneți cît e diferența. Spuneți că sînt egale doar aproximativ. Atunci spuneți: cît e eroarea?

Și apoi discutăm și de incapacitatea altora de a gîndi în termeni abstracți.

---

Afirmatia ta e gresita din ipoteza, 0,(9) nu e numar! E o abstractizare. 0,(9) are o infinitate de 9, de asta a fost adoptata scrierea cu paranteza, pentru ca nici macar nu se putea scrie macar. Nu te lua dupa ce scrie pe wikipedia, studiaza limitele si asimptotele. Voi nu faceti aici decat sa afirmati ca o asimptota isi poate atinge intervalul de care e margini, afirmatie falsa. 0,(9) o sa se apropie infinitezimal de 1 insa niciodata nu o sa fie = 1. Sunt multe demonstratii care arata ca 0,(9)!=1, mi se pare munca sisifica sa le mai reiterez si eu inca o data (http://bit.ly/1c3j1XI).

---

Domnule Misu, am studiat suficient de mult limitele și asimptotele cît să înțeleg foarte bine problema de față. Întrebarea mea e dacă și dumneavoastră le-ați studiat sau dacă nu cumva le fluturați așa, de paradă.

0,(9) este un număr, iar ca orice număr e și el tot o abstractizare. La fel ca numărul 1, de exemplu. În schimb este posibil ca pentru unii scrierea 0,(9) să fie prea abstractă, asta e drept. Dar egalitatea a două numere nu ține de reprezentare. Uite, numerele 0,5 și 3/6 sînt egale, deși nu seamănă la figură.

Nu am afirmat nicăieri că „o asmiptotă își poate atinge intervalul”. De altfel afirmația asta e o prostie, pentru că nu asimptota e cea care atinge sau nu atinge ceva. Despre o funcție (un șir, o serie, o curbă etc.) spunem că tinde spre o asimptotă, nu invers. Asimptota însăși nu se mișcă. (Se confirmă că vorbiți despre asimptote fără să le cunoașteți.)

Cînd spuneți că „0,(9) o să se apropie infinitezimal de 1” îmi dau seama că nu înțelegeți despre ce vorbiți. Numărul 0,(9) nu se apropie și nu se îndepărtează, nici acum, nici în viitor, pentru că e un număr FIX, o constantă. Nu e o variabilă sau o funcție. El este definit de la bun început ca limita unei serii. Înțelegeți? Nu e o sumă parțială, intermediară, care urmează să mai crească puțin. El însuși e asimptota, în timp ce dumneavoastră credeți că e ceva ce evoluează, crește, tinde, se apropie de ceva.

Nu vă cer să-mi repetați multele demonstrații ale inegalității. M-am uitat la cîteva și am văzut că sînt greșite. Dar ar fi interesant să alegeți dumneavoastră una din acele demonstrații, cea care vi se pare cea mai solidă și convingătoare, și s-o puricăm un pic aici, să vedem cît rezistă la piguleală. Asta dacă nu vi se pare prea sisific.

Dar eu nu prea sper să putem discuta serios. Într-o discuție serioasă pe tema asta, cînd eu întreb cît e diferența dintre 0,(9) și 1, interlocutorul se grăbește să răspundă, cît mai detaliat, pentru că întrebarea asta are relevanță maximă în context. Dar dumneavoastră v-ați făcut că plouă. Sînt nevoit să consider că nu puteți răspunde. Vă reamintesc că două numere reale sînt diferite dacă și numai dacă diferența dintre ele e nenulă.

Așadar, cît e diferența?

---

Uite, vă mai vin puțin în ajutor. Dacă avem două numere reale a < b, atunci putem găsi un număr aflat între ele, mai mare decît a și mai mic decît b (de exemplu media lor aritmetică). Și invers, dacă găsim un număr astfel încît m > a și m < b, atunci neapărat a < b.

Deci ca să demonstrați că 0,(9) diferă de 1 e suficient să găsiți un număr mai mare decît 0,(9) și mi mic decît 1. Găsiți?

---

Salut ! Am aruncat si eu o privire diagonala pe dezbaterile matematicienilor forumului si cred am priceput cate ceva. Daca ar exista numarul 0,(0)1, ar fi realmente cel mai mic numar rational pozitiv, dar stim ca nu exista un astfel de numar, nu ?

---

Pai, argumentul pe care l-am primit este ca dupa o infinitate de "0" nu mai poate urma un "1".  Dar bine ca intre numerele 2 si 3 exita o infinitate de numere dar asta nu impiedica sa urmeze  4, si  5. Eu nu inteleg cum de in matematica se pot isca asemenea discutii, de parca vorbim de superstitii sau religie.

---

Oliver Puskas, nu știu ce asemănare vedeți între cele două situații. Lungima infinită a unui șir de cifre e una, iar numărul infinit de valori dintre două numere e alta. N-are a face cu religia, cîtuși de puțin.

Dumneavoastră ce înțelegeți prin „un șir infinit de zerouri”? Unde se termină acest șir infinit?

---

Prin "un sir infinit de zerouri" inteleg ca sirul nu se termina, nu-s dus cu pluta:)) Sa inteleg atunci ca orice insiruire la infinit a unui numar este de fapt urmatorul numar? 

0,(1) = 0,2 ? , iar daca egalitatea e falsa, care este diferenta? Dupa gandirea mea "prea veche pt. matematica", diferenta ar fi 0,0(8)9. Sper ca nu deviez iarasi de la subiect.

---

Aoleu Oliver, sterge repede comentariul, ca acu vine Adi si te smotoceste! :)

- 0,(1) = 1/9, iar cazul cu 0,(9) era unul particular (era 9/9=1);

- iar ai adaugat o cifra dupa o perioada infinita ? 0,0(8)9 ??

---

Oliver Puskas, deci înțelegeți că șirul nu se termină. Excelent. Și atunci pe a cîta poziție zecimală vine acel 1 din 0,(0)1? Cu cît contribuie el deci la valoarea numărului?

Nu a zis nimeni că dacă șirul de cifre e infinit atunci numărul este de fapt egal cu următorul număr. Valoarea lui 0,(1) este 1/9, iar a lui 0,2 este 2/10. Sînt numere diferite, evident. Diferența este de 4/45, adică 0,0(8). Acel 9 pe care iarăși l-ați pus la sfîrșit nu mai urmează niciodată, pentru că infinitatea de opturi dinaintea lui nu se termină niciodată, după cum foarte bine ați spus.

---

Foarte bine! Atunci de ce cand fac impartirea 4/45 imi da rezultatul cu un 9 la capat?

Daca "0,(9)=1" este universal acceptat in matematica, atunci de ce calculatoarele din zilele noastre (create tot de noi) nu stiu asta?

Iar daca fac 0,(1) + 0,0(8) = 0,1(9) si nu 0,2. Sau 0,1(9) = 0,2?

---

Si Truth, :)) nu ma deranzeaza "smotocelile" D-lui Adi. Daca isi va atinge scopul cu ele, ii voi multumi si imi va fi clar de ce nu inteleg problema. :)

---

Dacă faceți împărțirea 4/45 pe un calculator, nu vi se pot afișa o infinitate de 8-uri. Calculatoarele au limită de precizie, motiv pentru care vi se afișează un număr aproximativ (prin trunchierea șirului de cifre sau prin rotunjirea la cel mai apropiat număr afișabil).

La un calculator nu puteți introduce numărul 0,(1). Paranteza aceea arată că numărul de 1-uri este infinit, or la calculator nu puteți introduce un infinit de cifre.

0,1(9) este egal cu 0,2.

Puteți face și singur verificarea, dar nu cu un calculator, ci pe hîrtie. Pentru asta trebuie să transformați numărul cu un șir infinit de zecimale într-o fracție cu numărător și numitor. Ați învățat la școală regula:

              19 - 1
0,1(9) = --------
                 90

Egalitatea aceasta este exactă, nu aproximativă ca la un calculator.

Dacă faceți socotelile gățiți că 0,1(9) = 0,2 (exact).

În schimb calculatorul spune că 1/9 + 4/45 face 0,19999999, cu un număr de zecimale care depinde de precizia de lucru. Puteți bănui că șirul de 9 e infinit, dar pe ecran se afișează numai atît.

De fapt am încercat adineauri cu calculatorul din Windows 7 și îmi afișează rezultatul ca 0,2. Dar asta nu pentru că chiar ar fi adunat șiruri infinite de zecimale, ci pentru că a rotunjit rezultatul.

---

Are sens....am inteles. N-am ce zice. Ms!

---

Intainte sa scriu restul comentariului, precizez ca nu am dorinta de a-l irita pe adijapan, desi ma tenteaza.

Parerea mea este ca 0,(0)1 exista, dar ma indoiesc ca sub aceasta forma. Numarul despre care cred ca vrei sa vorbim este cel mai apropiat numar de 0, pozitiv. Evident, contrar ineptiilor debitate pe-aici, el exista! Intr-o multime M=(0,a), cel mai mic numar din multime este cel despre care vorbim aici. Multimea numerelor reale este una ordonata. Problema este ca 0,(0)1 este un numar cu care nu se poate opera si care nu se poate afla. Si este si scris prost. A afirma ca un numar k fixat, aflat, este cel mai apropiat numar pozitiv de 0 este o greseala. Intre  k si 0 exista o infinitate de numere: k/a, k/a^2, k/a^3..., a>1.

0,(0)1 nu este limita cand n->infinit din 1/10^n, ci chiar 1/infinit, deci 0.

Cat despre "perechea" lui, 0,(9), e simplu. 0,(9)=0,(3)*3=1/3*3=1.

Daca se accepta ca nu exista un numar cel mai apropiat de un numar fixat, fie el 0, nu exista nici urmatorul numar pe axa dupa acest numar si tot asa. Si nu exista nimic, niciun numar, decat 0. Si atunci sunteti cu totii nuli din toate punctele de vedere, pentru ca 0 e singurul numar, deci doar el poate fi atasat unei cuantificari. Deci sunteti nuli dpdv intelectual si nu numai.

Mai sanatos in opinia mea este sa se accepte ca exista acest numar de care vorbim, dar nu scris sub forma asta. De fapt, sa se accepte ca acest numar exista, dar este un numar indetectabil, inoperabil, care se comporta ca si cum nu ar exista, dar care daca nu ar exista, mergand pe aelasi rationament, ar fractura multimea numerelor reale, care ar plange ca nu mai e continua.

---

După cum bine spuneți, mulțimea R este continuă. Între oricare două numere diferite există o infinitate de numere. De aceea nu există nici un număr k diferit de 0 care să fie cel mai apropiat de 0. Intervalul (0, 1) nu are un cel mai mic element. Are doar o limită minimă, și anume 0, pe care însă nu o atinge pentru că a fost exclusă prin modul cum a fost construit intervalul.

Din faptul că nu putem pune degetul pe un număr nenul și spune că el e cel mai apropiat de 0 nu rezultă nicicum că toate numerele ar fi egale cu 0. Ați făcut probabil un salt în raționament pe undeva.

„0,(0)1 nu este limita cand n->infinit din 1/10^n, ci chiar 1/infinit, deci 0.” --- În primul rînd, dacă neglijăm exprimarea, e tot aia, pentru că 0 = 0. În al doilea rînd, dacă ne uităm la exprimare, am impresia că nu înțelegeți bine ce e infinitul, și anume că e tot o limită, nu un număr. Nu puteți spune brusc „1/infinit” (pentru că împărțirea e definită numai pentru numere), ci puteți eventual construi o limită a unui șir, de exemplu 1/n sau 1/10^n.

---

Poate ca era taziu si nu am fost suficient de clar. Am spus ca eu consider ca exista cel mai apropiat numar pozitiv de 0, sau cel mai apropiat numar de 5, sau de 3,14 sau de orice numar "stiut", fixat. Faptul ca numarul de care vorbim nu poate fi aflat, selectat, nu se poate opera cu el nu il face sa nu existe.

Rationamentul ala conform caruia nu exista decat 0 este o gluma, stiu ca scartaie tare, era exemplu de perpetuare a unei logici incorecte sau inclomplete care duce la rezultate surprinzatoare. Un fel de 1=2, doar ca nu am avut eu grija sa slefuiesc demonstratia prea bine.

Totusi, mai in gluma mia in serios,m ultimea m1=[0,a] cuprinde TOATE numerele reale de la 0 la a inclusiv, a fixat. Din multimea asta, daca se elimina 0, se ajunge la m2=(0,a]. m1 si m2 au aceleasi numere, difera doar prin 0. De ce nu ar exsita un minim in multimea m2? E clar ca el nu se poate afla, nu poate fi egalat cu un k, nu este operabil, etc, dar daca el nu exista pentru ca nu poate fi scris nici ca un rational, nici ca un irational, atunci nu exista decat numerele care pot fi scrise, Si atunci R nu mai e continua.  Se considera, prin conventie, ca o multime cu margine deschisa la stanga nu are minim pentru ca inf din  multimea respectiva nu e din multime. De exemplu inf m2=0. Dar  infm2=0 prin conventie pentru ca minimul nu se poate afla si nu e operabil. Daca se noteaza cu k cel mai apropiat numar pozitiv de 5, de exepmplu, se ajunge la o contradictie. Diferenta dintre k si 5, ambele fixate, este difertita de 0, deci mai incap o infinitate de nuemre reale intre ele. Dar contradictia nu arata ca acest cel mai apropiat numar nu exista, ci ca acesta nu poate fi ales, gasit, nu se poate opera cu el.

Referitor la ultima parte, stiu, am gresit. Dar exista totusi o diferenta mare intre a tinde si a fi. Daca b->infinit si a=1, a^b =1, Dar daca a->1, lucrurile se schimba radical. Cred ca asa e si aici.

Nu ma consider vreun mare guru in analiaz sau topologie, dar daca pe undeva ma bate intuitia, as vrea sa stiu si daca imi va fi explicat unde gresesc suficient de bine, sunt dispus sa accept asta fara vreo problema.

---

Nu știu ce-ar înseamna că un număr există, dar că nu e operabil. Dacă există atunci putem opera cu el: îl putem compara cu alte numere, îl putem aduna, înmulți etc. Nu e nevoie să-l putem scrie nici cu cifre, nici ca rezultat al unei operații, nici ca soluție a unei ecuații, nici ca limită a unui șir, nici ca o integrală, nici altfel. Dacă există, îl putem boteza x, chiar fără să-i știm valoarea, iar cu acest x putem face operații, așa cum facem cu orice alt număr care există.

„exista totusi o diferenta mare intre a tinde si a fi” --- Așa este. Numai că în cazul operațiilor cu infinitul nu putem spune lucruri ca 1/inf = 0. De fapt operațiile cu infinitul nici nu sînt operații propriu-zise, ci notații convenționale pe care le folosim doar pentru simplificare. Toate operațiile în care includem infinitul sînt de fapt limite, doar că ne e lene să scriem limitele explicit.

---

Hmm... da, nu am fost explicit. Daca este atat de aproape de 0, acest 0,(0)1 (sau oricum l-am nota) nu poate fi gasit. Poate fi comparat, da. Cat despre inmultire, impartire, adunare, se pot face cu inegalitati, nu cu precizie. Se pot strange inegalitatile, dar e inutil sa se opereze cu el.

Dar daca conceptul de "cel mai apropiat numar de k", k fixat, nu exista, atunci R ramane fara o infinitate de numere si mai mult decat atat, fara o multime nenumarabila probabil. Si R devine ca si Q, adica ramane infinit, dar discontinuu.

R este ordonata. Nu pricep, sunteti sau nu de acord ca pentru orice numar k exista doi cei mai apropiati vecini pe axa, chiar daca acestia sunt neidentificabili?

---

Dacă înțeleg eu bine, discuția deja nu mai e despre 0,(0)1, pentru că el știm că e exact 0. Ați ridicat discuția despre cel mai mic număr real, pozitiv și nenul. Și anume ați spus că există. Eu afirm că nu există.

N-am înțeles de ce spuneți că R ar deveni o mulțime discontinuă. Nu înțeleg nici de ce insistați că R este o mulțime ordonată; evident că așa e.

Nu, nu sînt deloc de acord că orice număr k are doi vecini cei mai apropiați. Iată demonstrația pentru k = 0 și semiaxa de la dreapta, dar demonstrația se poate translata la orice număr și de ambele părți ale lui. E prin reducere la absurd: dacă x e un număr real, pozitiv și nenul pe care îl credem cel mai apropiat de 0, atunci imediat găsim că de fapt x/2 este și el tot real, tot pozitiv și tot nenul, dar e mai apropiat de 0 decît x. Deci x n-a fost bun. Ipoteza că există x a dus la o concluzie absurdă. Deci x nu există.

---

Am inteles, demonstratia e simpla, chiar scrisa de mine mai sus. Totusi nu ma convinge, daca acest numar exista, dar nu poate fi gasit, nu poate fi ales, demonstratia nu e buna. In demonstratie se presupune si ca se poate gasi acest k. Cu alte cuvinte, multimea (0,infinit) nu are minim, nu are un numar de la care porneste, nu are capat inferior. Inteleg ca nu are capat superior, pentru ca vorbim aici de infinit, care e un concept cat se poate de abstract. Nu exista multimea (0,infinit], din care sa extragem infinitul pentru a obtine o multime cu maxim cel mai mare numar real. R barat, care cuprinde -infinit si infinit e doarr o conventie, infinitul nu poate fi "prins" intr-o multime. Si cand vorbim de un capat superior infinit, demonstratiile de genul celei prezentate mai sus functioneaza. De exemplu, a presupune ca exista un maxim numar prim, iar apoi se gaseste altul mai mare functinoeaza, un numar prim se poate gasi, pentru ca depinde de numerele prime de dinainte, care se stiu, iar un numar prim mai mare decat acest numar prim este tot usor de gasit. Plus ca aici, numerele prime gasite sunt, atentie, formate pe baza unei multimi numarabile de numere prime.

Oricum, multumesc pentru efortul de a-mi raspunde la atatea comentarii care, probabil, devin sacaitoare deja. Nu prea vreau sa mai retin din timpul dv, voi cerceta mai mult in viitor aceasta problema si probabil si intrabarile tangente la acest subiect.

---

Cum ziceam, nu înțeleg noțiunea de număr care există dar care nu poate fi găsit sau ales.

Answer 1

Scrierea 0,(0)1 nu are sens, pentru că șirul de zerouri e infinit, încît acel 1 nu mai urmează niciodată. De aceea 0,(0)1 este inevitabil egal cu 0,(0), adică e 0.

Numărul scris 0,(9) este demonstrabil egal cu 1 --- egalitate exactă, atenție! ---, deci nu mai puteți demonstra și că e diferit.

Ceea ce nu înțelege lumea la numărul 0,(9) este că șirul de 9 este infinit de lung. Nu este nici lung, nici extrem de lung, nici din ce în ce mai lung, ci de-a dreptul infinit. Numărul 0,(9) reprezintă deja limita unui șir de numere, nu este el însuși unul dintre numerele șirului. E valabil pentru orice fracție zecimală periodică. Lumea gîndește prin aproximații succesive și greșește.

Comments

Daca zici ca 0,(0)1 nu are sens atunci nici 0,(9) nu are sens.

Si pe axa numerelor reale carei primul numar inaintea lui 0,(9)?

 

0,9 + 0,1 = 1                          

0,99 + 0,01 = 1

0,999 + 0,001 = 1

0,9999 + 0,0001 = 1

 

Din cele de mai sus rezulta ca:  0,(9) + 0,(0)1 = 1 si de aici: 0,(9) diferit de 1

Care sunt argumentele contra?

---

0,(0)1 nu are sens pentru că paranteza arată repetarea la infinit a lui 0. Înțelegeți ce înseamnă infinit? După o infinitate de zerouri nu mai urmează nimic, pentru că infinitatea NU SE TERMINĂ. Înțelegeți ce înseamnă că nu se termină?

Prin comparație, 0,(9) are sens: este un 0, o virgulă și apoi o infinitate de cifre 9. Cine face calculul află că numărul ăsta e exact egal cu 1. Cine nu face calculele nu înțelege.

În mulțimea numerelor reale nu există „primul număr dinaintea lui x”, pentru că numerele reale formează o mulțime continuă. Între oricare două numere reale date, oricît de apropiate, există o infinitate de numere reale. O infinitate.

Iată argumentul contra. Prin definiție numărul 0,(9) se descrie astfel:

0,(9) = limită cînd n tinde la infinit din suma S(n) = 9/10 + 9/100 + ... 9/(10^n).

Suma S(n) este egală cu 1 - 1/10^n. Urmează acum să aplicăm limita:

Cînd n tinde la infinit, 1/10^n tinde la 0, deci limita sumei este egală cu 1. Am terminat demonstrația.

Greșeala dumneavoastră constă în faptul că vă uitați la S(n) și observați că pentru orice n suma e mai mică decît 1. Atunci trageți concluzia greșită că și limita sumei va fi tot mai mică decît 1. Faceți un salt logic nejustificat. Ce e valabil pentru numerele dintr-un șir nu e neapărat valabil și pentru limita șirului. Uite alt exemplu: toate numerele dintr-un și pot fi raționale, și totuși limita șirului poate fi irațională. Alt exemplu: toate numerele dintr-un șir pot fi finite, dar limita șirului poate fi infinită. Și-ncă unul: toate numerele dintr-un șir pot fi nenule, dar limita poate fi nulă. Și așa mai departe, ați prins ideea.

---

"Cînd n tinde la infinit, 1/10^n tinde la 0, deci limita sumei este egală cu 1. Am terminat demonstrația."    - AdiJapan

Limita sumei este egala cu 1, normal, dar de ce sa fie numarul 1 parte a sumei? este doar limita acesteia. Scuze dar nu vad demonstratia.

"Cine face calculul află că numărul ăsta e exact egal cu 1." - Adi Japan

Cine face calculul, il face exact cum e invatat sa-l faca, poate exista o eroare pe care n-a observat-o nimeni si mai bine accepta ca un numar este egal cu altul. Ca ne este mai usor.

Profesorul de matematica ne-a demonstrat tuturor ca 1 = 2, si am fost toti socati. Apoi ne-a aratat eroarea calculului. Mare branza am zis apoi.

---

„Limita sumei este egala cu 1, normal, dar de ce sa fie numarul 1 parte a sumei? este doar limita acesteia.” --- Pentru că numărul 0,(9) se definește ca limita sumei, nu doar ca una din sumele intermediare. Faptul că acel 9 e pus în paranteză înseamnă că se repetă de o infinitate de ori, nu doar de n ori.

Dar dacă nu vă place cum fac eu calculul, foarte bine, faceți-l așa cum credeți dumneavoastră că e corect. Și apoi arătați-mi-l și mie, ca să vă spun unde ați greșit.

---

"0,(0)1 nu are sens pentru că paranteza arată repetarea la infinit a lui 0. Înțelegeți ce înseamnă infinit? După o infinitate de zerouri nu mai urmează nimic, pentru că infinitatea NU SE TERMINĂ. Înțelegeți ce înseamnă că nu se termină?" - AdiJapan

 

De ce te limitezi asa mult la INFINITUL ala fara sa vezi dincolo? Daca avem multimea      (- , 0) are o INFINITATE de elemente, dar tot mai pot adauga un element la capatul ei: (- , 1), wow nimic special. Si in plus n-am auzit pe nimeni cu o ipoteza de ce 0,(9) diferit de 1, ceea ce e aberant pt. ca dupa 0 urmeaza o INFINITATE de 9, deci 1 nu poate urma niciodata.

---

Ce are una cu alta? Aduceti argumente care nu au legatura cu discutia, domnule Puskas (scuze ca intervin, dar urmaresc discutia de ceva vreme si ma tot intrebam cand veti accepta argumentele interlocutorilor dvs),

De as putea, v-as vota negativ insutit, dar nu pot.

Incapatanarea dvs, (caci deja nu mai e lipsa de intelegere, e persistenta in a sustine neadevaruri) e demna de o cauza mai buna...

---

Din moment ce toti imi spun ca "numarul asta nu exista pt. ca <nu asa se scrie>, sau <nu-i corect scris>, etc.". Astea nu-s argumente. Parca mi-ar spune ca "nui la moda sa scriem un numar dupa un numar scris in paranteza."

---

Dumneavoastră cum înțelegeți numărul 0,(0)1? Mai exact, cîte cifre de 0 are după virgulă? Acel 1 pe a cîta poziție zecimală vine?

Dacă numărul de zerouri ar fi finit, să zicem n, atunci numărul acela ar fi egal cu 10^(-n-1). Dar nu e finit, ci neapărat infinit. Punînd cifra 1 pe poziția a infinita, valoarea numărului devine 0.

Nu e vorba de vreo modă aici, ci de logica scrierii unui număr. Partea din paranteză trebuie repetată de o infinitate de ori, deci ceea ce scriem după paranteză nu mai ajunge să conteze niciodată. Dacă ajunge să conteze atunci perioada nu s-a repetat pînă la infinit, deci am greșit.

Dumneavoastră cereți noi argumente, semn că nu ați înțeles ce v-am explicat pînă acum. V-am spus, dacă nu vă place calculul așa cum îl fac eu, faceți-l așa cum credeți că e corect. L-ați făcut?

---

0,9 + 0,1 = 1                          

0,99 + 0,01 = 1

0,999 + 0,001 = 1

0,9999 + 0,0001 = 1

...............................

0,(9) + 0,(0)1 = 1

Nu stiu daca se poate numi un calcul dar asa vad eu lucrul asta. Este ca si cum as accepta ca < +1.

---

Mi-ați mai arătat o dată calculul ăsta. În principiu e corect, doar că pe ultima linie apare numărul 0,(0)1, care de fapt e egal cu 0. Cifra aceea 1 pe care ați pus-o după șirul infinit de 0 nu mai urmează niciodată, deci nu are efect.

Vă întrebasem cît credeți că este 0,(0)1 sau pe a cîta poziție zecimală este cifra 1.

---

Mi-am imaginat ca ii primul numar posibil, ceea ce nu-s 100% convins ca nu-i. Si mi-ati spus intr-un coment ca 0,(0)1 este 0, da, asa e, doar ca 0 il vand ca si un "nimicu", iar 0,(0)1 ca si un "ceva". Exact ca si la Big Bang, inainte a fost "nimic", (nimicul nu poate exploda!!!), apoi a fost "ceva" si asa deja a putut sa explodeze, dar in esenta tot nimic era si acel "ceva" pana a explodat.

 

Iar cifra 1 mi-am imaginat ca este pe pozitia zecimala +1. Si mie mi se pare absurd intru-cat acel +1 face parte tot din acel . Dar faptul ca numerele reprezinta un sir crescator sau descrescator a ceva, ma face sa cred ca trebuie sa fie si "primul", "al doilea", "al treilea" s.a.m.d

---

0,(0)1 este la fel de nimic ca și 0, nu e un picuț mai mare.

Cifra 1 aflată pe poziția Inf (sau Inf+1, dacă vă place) contribuie cu exact 0 la valoarea numărului. Iată de ce:

pe poziția 1 contribuie cu 1/10
pe poziția 2 contribuie cu 1/100
...
pe poziția n contribuie cu 1/10^n
...
pe poziția Inf contribuie cu limită cînd n tinde la Inf din 1/10^n

Acea limită este exact 0 (nu e mică, nu e infimă, ci e fix zero). Deci 0,(0)1 = 0.

Faptul că numerele reale sînt ordonate nu e suficient ca să existe un prim număr real, un al doilea etc. Numerele reale formează o mulțime continuă, nenumărabilă. Nu există nici o bijecție între N și R, deci nu putem numerota toate numerele reale. Poate părea surprinzător, dar numerele reale dintr-un interval oricît de îngust sînt mult mai numeroase decît toate numerele naturale, iar cînd spun mult mai numeroase vreau să spun că sînt în mod esențial și calitativ mai numeroase.

---

Le ai cu explicatul. Mi-a placut ultimul coment.

---

 

0,9 + 0,1 = 1

0,99 + 0,01 = 1

0,999 + 0,001 = 1

0,9999 + 0,0001 = 1

---------------------------

0,999...9 + 0,000...1 = 1 este adevarata, cu o conditie: numarul de zecimale sa fie finit. Daca numarul de zecimale este infinit, este o problema de limita unde nu se mai aplica aritmetica (algebra). Intervine analiza matematica care studiaza infinitul. Aceste notiuni depasesc din cate am vazut cunostiintele d-voastra, de aceea nu le puteti intelege. Novici care trec usor de la numere finite la cele infinite au probleme de adaptare si fara sa va documentati suplimentar, de aici nu le ve-ti intelege niciodata. Va spun doar atat: desi cu numere reale au lucrat grecii antici, abia la sfarsitul sec XIX, s-a putu da definitia (axiomatica) si constuctii consistente a multimii nr reale. De ce? Pentru ca nu e deloc usor si simplu. Doriti sa stiti mai multe, va dau un link http://www.google.ro/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=7&ved=0CGQQFjAG&url=http%3A%2F%2Fwww.viitoriolimpici.ro%2Fuploads%2Fattach_data%2F67%2F34%2F27%2F%2F3e01c101112m.pdf&ei=inZdUqmaNYnb4QToCA&usg=AFQjCNEXPKry6RYH4ky3KAkai8AhH8iHkQ&sig2=9W85VoBfz3uHz0pSNMCoMQ

 

Answer 2

Numarul o,(o)1 nu exista pt ca este gresit scris:dupa partea periodica(nr din paranteza care se repeta la infinit) nu mai pot urma alte cifre :deci partea periodica este partea finala(cea mai din dreapta) a unui numar periodic .Aceasta parte periodica poate fi precedata de una sau mai multe cifre care formeaza partea neperiodica (si atunci avem un nr periodic compus) sau poate urma imediat dupa virgula( si avem un nr periodic simplu) dar in nici unul din cele 2 cazuri ea nu poate fi urmata de vreo cifra.

Answer 3

Nu exista numarul 0,(0)1 deoarece perioada reprezinta ca acel numar se repeta la nesfarsit si deci nu se poate. ÎN CONCLOZIE NU SE POR SCRIE NUMERE DE FORMA a.(n)c ÎN EXEMPLUL DE FATA 0.(0)1