Care a fost raționamentul său?

Question

Un sultan condamnă la moarte 3 ostași, cărora le acordă o șansă unică pentru a se salva, supunându-i la următoarea probă:

• le arată 3 fesuri roșii și 2 negre;
• așezați în șir indian și legați la ochi, le pune la întâmplare câte un fes din cele 5;
• îi dezleagă la ochi, dar nu le dă voie să privească decât înainte, astfel că cel din spate vede fesurile celor 2 din față, cel din mijloc doar a primului ostaș, iar primul nu vede niciun fes;
• pe baza unor raționamente logice, fiecare va încerca să ghicească culoarea fesului din capul său.

Dacă unul singur răspunde corect, vor fi toți iertați; acest lucru îl reușește primul ostaș, care nu vedea niciun fes. Care a fost raționamentul său?

Problema este preluata de pe pagina web http://colectie-stiinte.ro/archives/1613#more-1613

Answer 1

Primul avea rosu, si rationamentul e dupa cum urmeaza :

 

1. Al treilea vede in fata 2 fesuri. Daca amandoua erau negre, stia sigur ca el avea rosu. Deci vede minim un fes rosu in fata.
2. Al doilea vede un singur fes in fata. Stiind ce a raspuns al treilea, daca ar vedea fes negru in fata, ar fi sigur ca el are rosu. Dar nu raspunde, pentru ca vede fes rosu in fata.
3. Primul face tot acest rationament si isi da seama ca are fes rosu.

Asta e tot!

Comments

"1. Al treilea vede in fata 2 fesuri. Daca amandoua erau negre, stia sigur ca el avea rosu. Deci vede minim un fes rosu in fata sau 2 rosii.
2. Al doilea vede un singur fes in fata. Stiind ca al treilea nu a putut raspunde, nu ce a raspuns (fiindca daca i-ar fi spus al treilea ce a vazut el in fata al doilea sigur avea raspunsul in orice varianta); daca ar vedea fes negru in fata, ar fi sigur ca el are rosu (fiindca daca era tot negru ar fi ghicit deja al treilea). Dar nu raspunde, pentru ca vede fes rosu in fata.
3. Primul face tot acest rationament si isi da seama ca are fes rosu".

---

De unde concluzia ca primul are fes rosu? Rationamentul il poate conduce la concluzia ca are fes rosu sau negru, in functie de situatiile posibile in care s-au aflat predecesorii lui. Problema nu era sa se arate ca exista o solutie unica (ceea ce ar fi fals), ci care este rationamentul celor 3 pentru a se ajunge la o solutie de probabilitate 1.

---

pai e simplu: primul nu poate avea negru. Daca el ar avea negru si al doilea tot negru, ar fi ghicit deja al treilea ca are rosu. Daca el are negru si al doilea rosu, ar fi ghicit al doilea ca are rosu, fiindca acesta isi da seama si el ca daca ar fi avut si el negru, ca si primul, ar fi ghicit al treilea. Deci primul nu poate avea negru, fiindca pana la el ar fi ghicit deja unul din ceilalti doi.

---

Primul poate avea negru si al doilea rosu, situatie in care al treilea ar raspunde "nu stiu ce culoare are fesul meu". Dar de ce nu o luam de la al trilea spre primul?

---

Prin "raspunde" ma refeream la a spune "nu stiu ce culoare are fesul meu" in cazul celui de-al doilea / treilea om, nu a incerca sa ghiceasca ce are.

---

Eu nu contest rationamentul ci concluzia ca primul (adica ultimul care vorbeste) are in mod obligatoriu fes rosu. Poate fi si negru, caz in care sunt salvati de al doilea. Cum si al doilea poate avea tot negru, caz in care ar fi salvati de la inceput, de catre al treilea. Aceste doua situatii tin insa de sansa. Ei vor fi salvati cu certitudine de primul, indiferent de ce reusesc sa deduca ceilalti doi pe baza informatiilor la care au acces. Daca al treilea si al doilea raspund "nu stiu", primul va sti, intr-adevar, ca fesul lui e rosu. Dar daca al doilea deduce ca are fes rosu, primul intelege ca el trebuie sa poarte fes negru. Intr-adevar, in acest moment raspunsul lui nu mai este necesar, sunt deja salvati de al doilea, dar problema cere rationamentul primului condamnat, acela care nu vede niciun fes, iar acesta deduce, dupa caz, ca are fes rosu sau negru.

Answer 2

Notam oamenii cu A, B si C. Presupunem totodata ca C vorbeste primul, apoi B si ultimul A.. Admitem, de asemenea , ca este valabil ca raspuns si "nu stiu" Avem cazul banal in care C raspunde rosu, ceea ce inseamna ca vede 2 fesuri negre, informatie clara si pentru B si pentru A. In situatia in care vede un fes rosu si un fes negru va spune "nu stiu". Daca vede 2 fesuri rosii va spune "nu stiu". Daca B aude "nu stiu" si vede un fes rosu la A, va spune si el "nu stiu", pentru ca nu stie in ce situatie s-a aflat C (rosu-rosu sau rosu-negru). Daca vede insa un fes negru la A va sti ca C s-a aflat in situatia rosu negru si va raspunde rosu. Daca A aude de la B "nu stiu", va deduce ca acesta a vazut rosu, adica situatia de incertitudine de rosu-rosu in care s-a aflat C si deci va raspunde rosu. Daca A aude de la B raspunsul rosu, va sti ca acesta s-a aflat in situatia in care a vazut un fes negru si va raspunde negru.

Comments

nu intelegeti ca ei nu spun ce vad, ci doar ca au gasit sau nu raspunsul (de la al treilea la primul). Fiindca daca ar spune tare fiecare ce vede in fata, al doilea ar ghici oricum, nemaifiind nevoie sa ajungem la primul.

---

Eu inteleg ca ei spun ce cred ca au pe cap, nu ce vad, de unde ati scos-o pe asta? Daca urmariti rationamentul, veti observa ca el conduce pe ultimul la certitudine cu privire la culoarea fesului de pe cap, fie rosu sau negru. Luati pasii de la C spre A si constatati ca in situatia nebanala in care C vede rosu-negru sau rosu-rosu, B nu va sti ce culoare are fesul sau decat daca vede negru la A. Dar acesta este doar un caz favorabil. In cazul cel mai nefavorabil, doar A va sti ce fes are pe cap. De la o problema de logica ajungem la o abordare probabilistica, in care afirmati ca evenimentul ca A sa aiba fes rosu este cert.