Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

4 plusuri 0 minusuri
9.0k vizualizari
Junior (1.3k puncte) in categoria Matematica
0 0
Salut Cornel ! Cum demonstram ? Prin inductie !
0 0
Ne bagam mai in amanunt? :)
0 0
Eu doar atat imi amintesc .. Sa-i lasam pe altii mai putin ruginiti ! :)
0 0
Truth, nu-i frumos ce faceți. Ori dați soluția întreagă, ori n-o dați deloc. Dar nu le stricați altora bucuria de a găsi singuri calea spre soluție. Așa e, problema se poate rezolva prin inducție, demonstrînd că dacă un număr din serie e divizibil cu 27 atunci și următorul are aceeași proprietate. Atunci, cum primul număr din serie e divizibil cu 27, rezultă că toate sînt. Dar acum cine ajunge la soluția asta nu mai are nici o satisfacție.
0 0
Salut Adi ! Iti dau dreptate pe jumatate, eram cam euforic ieri seara - dar era evident pentru oricine ca se face prin inductie, deci n-am desconspirat cine stie ce. Mai multe ai desconspirat tu ulterior ! :))

Pe de alta parte, la antepenultima problema al lui Cornel au fost vreo 4 raspunsuri cu aceeasi metoda, deci n-au parut deloc descurajati.

Oricum, pe viitor o sa ma abtin.

2 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
Fie P(n) = 10^n+18n-28 n> si egal cu 0 (merge si cu 0 !)

Pasul 1, verificam cazul particular al primului numar din sir: n=0, P(0)= -27, deci divizibil cu 27.

Pasul 2, demonstram ca daca P(n) adevarata, atunci P(n+1) adevarata.

Deci 10^n+18n-28=27a (divizibil cu 27). Rezulta 10^n=27a-18n+28

P(n+1) = 10^(n+1) +18(n+1)-28 = 10*10^n+18n-10=10(27a-18n+28)+18n-10=270a-180n+280+18n-10=270a-162n+270 = 27(10a-6n+10) deci P(n+1) divizibil cu 27.

Rezulta P(n) adevarat.
Senior (8.7k puncte)
0 0
Așa da.
    
0 0
Q.E.D. :) De remarcat ca expresia, asa cum este definita, este divizibila cu 54, in consecinta si cu divizorii acestuia, intre care se afla si 27.
0 0
Asa-i, merge si cu 0. Dar si fara. :)
2 plusuri 0 minusuri

Buna ziua!

Voi nota cu Mx+k= multiplu de x plus k.

Avem de demonstrat ca 10^n+18n-28 este divizibil cu 27, n>0.

Dar (-27) divizibil cu 27, asadar ramane de demonstrat ca 10^n+18n-1 este divizibil cu 27.

Exista o anumita "tehnica" de abordare a problemelor de acest fel. Primul pas este cautarea unei puteri cat mai mica a numarului 10, a.i. 10^n sa fie M27+1, pentru ca odata gasita aceasta putere sa se treaca la pasul 2. O gasim repede: pentru n=3, 10^n=M3+1.

 

Pasul 2, se considera puterea in functie de resturile obtinute la impartirea sa la 3. Astfel avem de considerat urmatoarele situatii:

Cazul 1. Daca n=M3 => n=3k, k natural.

10^n=10^(3k)=(10^3)^k=(M27+1)^k=M27+1 (1)

18Xn=18X(3k)=27X(2k)=M27                          (2)

-1=M27-1                                                      (3)

Insumand (1), (2), (3), obtinem:
10^n+18^n-1=M27+1+M27+M27-1=M27

Astfel, pentru n=M3, 10^n+18n-1 divizibil cu 27.

Cazul 2. n=M3+1 si Cazul 3.n=M3+2 se trateaza asemanator.

Conchidem ca 10^n+18n-28 divizibil cu 27, oricare ar fi n natural>0.

 

O zi buna!

Aiscrim

Novice (109 puncte)
0 0
27/(10^n+18n-1) ; 27/(99....9(de n ori)+18n) ; 27/9(11...1(n ori) +2n) ;
3/(11...1(de n ori + 2n).
n=3k evident
n=3k+1  11...1(1de 3k+1) + 2(3k+1)=11...10 (1 de3k ori) +1 + 6k + 2=
=(11...1(1 de3k ori) + 6k +3):3
n=3k+2   11...1(1 de 3k+2 ori) + 2(3k+2)=11...100 (1 de3k ori) + 11 + 2(3k+2) = (11...100 (1 de3k ori) +6k + 15):3
cred ca este o mica eroare n=n-1
0 0
nu vorbim de "cel mai bun raspuns" ci de un raspuns interesant si "elegant". Consider ca al doilea raspuns exprima arta teoriei numerelor
...