O meserie pe cale de dispariție?

Question

   Într-un sat de câmpie, cu 256 de gospodării, numerotarea caselor este făcută în stil vechi, de la 1 la 256, astfel încât pornind de la cea cu nr. 1 și trecând pe la toate casele, în ordinea crescătoare a numerelor, parcurgem un circuit continuu și închis, în sensul că ultima casă, cu nr. 256, de pe ultima stradă este alături de prima casă de pe prima stradă, adică cea cu nr. 1, de unde am plecat la început.    

.

   Într-o dimineață poștașul local (o meserie pe cale de dispariție) primește o misiune mai puțin obișnuită. Are de dus câte o scrisoare la fiecare casă din localitate, deci 256 de scrisori în total. Problema e că trebuie să respecte câteva reguli de livrare a corespondenței:

.

   Plecând de la casa cu nr. 1 numără patru case și lasă corespondența la cea de a patra, cu nr. 4. Apoi începând cu următoarea, nr. 5, numără la fel patru case și lasă corespondența tot la cea de a patra, adică la cea cu nr. 8. Și continuă la fel până la ultima casă cu  nr. 256. De aici reia circuitul, pe prima stradă, respectând aceeași regulă pentru casele rămase fără corespondență după primul circuit încheiat. Și tot așa, continuă până când sfârșește de lăsat la toate casele corespondența.

.

   În figura următoare am figurat situația după două circuite parcurse: cu roșu sunt figurate casele la care s-a distribuit corespondența la primul circuit, iar cu albastru cele la care s-a distribuit corespondența la al doilea circuit.

.

.

      Întrebarea nr. 1

   Știind că pentru fiecare circuit parcurs complet (adică la fiecare trecere de pe ultima stradă la prima stradă) primește 10 lei, cât câștigă poștașul la sfârșitul misiunii?

.

      Întrebarea nr. 2

   Presupunem că numărul total al caselor este 343.

   De asemenea considerăm regula de distribuire a corespondenței următoarea: la primele trei  circuite se lasă corespondența din 7 în 7 case, începând numărătoarea la primul circuit de la prima casă (cea cu nr. 1) și luând în considerare doar casele care nu au primit corespondența, pentru toate circuitele care urmează până la sfârșit; la următoarele trei circuite din 6 în 6 case; la următoarele trei circuite din 5 în 5; la următoarele trei circuite din 4 în 4; la următoarele trei circuite din 3 în 3; la următoarele trei circuite din două în două case; și apoi la ultimul circuit se distribuie corespondența, la rând, la toate casele rămase.

   Ce număr are ultima casă la care se distribuie corespondența?

.

.

   Notă: Chestiunea este inspirată dintr-o problemă ceva mai veche, postată de utilizatorul Nobody, (aici) și rămasă deschisă, din punct de vedere matematic. M-am gândit să o fac abordabilă și rezolvabilă.

Rezolvarea la Întrebarea nr. 1 este destul de „muncitorească”. În schimb la  Întrebarea nr. 2 soluția poate fi, zic eu, elegantă.

Answer 1

1. "Muncitorește":

Circuit	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
Scrisori inițial în geantă	256	192	144	108	81	61	46	34	26	19	15	11	8	6	5	3	3	2	1	1	1	1
Scrisori predate	64	48	36	27	20	15	12	8	7	4	4	3	2	1	2	0	1	1	0	0	0	1

În total sunt 22 de circuite, statul trebuie să-i dea 220 lei. Cu o distanță minimă de 10 metri între case, 22 x 10m x 256 = 56 km. Nu-i de mirare că poștașii sunt pe cale de dispariție.

2. Aproape "muncitorește": Primul circuit are k³ case disponibile, în al doilea circuit rămân k³ - k² = k²(k - 1), iar cel de-al treilea circuit are la dispoziție k²(k - 1) - k(k - 1) = k(k - 1)². La finalul acestuia și începutul noului ciclu de 3 circuite rămân nemarcate k(k - 1)² - (k - 1)² = (k - 1)³. Noul ciclu pornește cu (k - 1)³ si se va termina cu (k - 2)³. Toate ciclurile încep cu puterea a treia a pasului lor corespunzător. Numărul de case disponibile în fiecare circuit din oricare set este un multiplu al factorului specific de selecție k, deci ultima casă disponibilă va fi mereu marcată și numărătoarea de eliminare se va relua întotdeauna de la casa nr. 1 făcând ca aceasta să fie "staționară" și bifată doar în ultimul circuit, cel de 1.

Comments

1.  Corectitudinea datelor din tabel denotă faptul că efortul „muncitoresc” a fost făcut până la capăt fără greșeală. Mai departe, cu toate că și părerea mea este că poștașul merită cei 220 lei, totuși mă tem că nu va primi decât 210 lei. Pentru că, în Întrebarea nr. 1, este o condiție care anulează circuitul 22 ca circuit valabil de plată. Și anume: „pentru fiecare circuit parcurs complet”. Misiunea poștașului se termină o dată cu predarea ultimei scrisori. Și asta se întâmplă cu siguranță înainte de a termina circuitul complet (adică de-a ajunge la ultima casă de pe ultima stradă). În consecință circuitul nu este parcurs complet.

Apreciez și observația cu lungimea traseului, 56 km, parcurs de poștaș. Pentru că m-am gândit să fie un traseu rezonabil. Dacă, de exemplu, viteza medie – cu bicicleta – ar fi de 8 km pe oră atunci timpul necesar parcurgerii ar fi de 7 ore, ceea ce e în limite normale.

.

2.  Corect: casa cu nr. 1. Un singur comentariu:  Prezentarea rezolvării e categoric superioară celei la care m-am gândit eu.