Spionaj și geometrie

Question

O agenție de spionaj are nevoie de o informație în legătură cu un obiectiv important dintr-o zonă „fierbinte” a lumii. Este vorba de clădirea din imaginea de mai jos (aici).

.

.

Problema (de interes național) ar fi următoarea: care este cel mai înalt punct al clădirii respective? Singura informație, în afară de imaginea din satelit, este marca mașinii încercuite: Fiat Doblo Cargo.

.

Este oare posibil ca în aceste condiții să calculăm înălțimea acestui punct față de, să zicem, platoul din fața clădirii (unde este parcată mașina Fiat)? Dacă da, cum se poate calcula și cât ar fi aceasta (desigur cu aproximație, având în vedere rezoluția destul de slabă a fotografiei)?

.

Pentru cine nu are acces la datele tehnice ale mașinii Fiat Doblo Cargo iată dimensiunile ei: înălțime: 2 m, lungime: 4,5 m.

Se presupune că poza a fost făcută exact de pe verticala locului.

.

O chestiune suplimentară (facultativă, dar de zece puncte): Aceeași întrebare, dar referitoare la clădirea mică din partea dreaptă-sus a imaginii?

Comments

Dacă ați întrebat, e clar că se poate! :)

Cum se face? Trebuie să fie ceva legat de dimensiunea umbrelor din poză. Poate că agenția de spionaj are acces și la coordonatele geografice ale poziției respective, și la momentul zilei și data calendaristică a efectuării pozei (deși din felul în care ați formulat problema pare că detaliile astea nu contează!). Dar, dacă are datele astea, agenția de spionaj știe cu exactitate șu unde se află Soarele față de verticala locului. O conta treaba asta?

Care este punctul? Aici răspunsul cred că e destul de clar, din moment ce o anumită parte a acoperișului ”aruncă” umbra sa peste o altă parte a acoperișului.

Cât sunt înălțimile respective, cele două de care întrebați? Nu stiu sa calculez, dar bănuiesc că niște proporții bazate pe dimenisunile mașinii și ale umbrei acesteia ne vor ajuta să le aflăm, deși nu mi-e clar în ce fel influențează calculele lungimea mașinii...

---

Da, așa e. Singurele informații sunt poza clădirii și dimensiunile mașinii. E greu de crezut asta, mai ales pentru o Agenție de spionaj și în condițiile lumii de azi.
Totuși chestiunea este în special una de geometrie și mai puțin una de spionaj.

---

Goguv: Mă văd nevoit să revin cu o precizare. Da, într-adevăr lungimea mașinii nu este absolut necesară. Bună observație.

Inițial am gândit abordarea problemei trigonometric. Și în acest caz ar fi nevoie de dimensiunea pe orizontală, pentru calculul unghiurilor. Apoi am realizat că merge la fel de simplu și doar prin asemănare de triunghiuri, deci exclusiv geometric, metodă pe care am și abordat-o până la urmă. Dar la sfârșit n-am mai verificat dacă am folosit sau nu și lungimea mașinii. Am reluat doar acum verificarea și bineînțeles că n-am avut nevoie de ea.  

De fapt ar fi trebuit să intuiesc de la început acest lucru având în vedere că problema de interes este doar pe verticală. Lungimea sau lățimea clădirii nu are nici o importanță pentru eventuala operațiune urmărită de  agenția de spionaj!

---

Multumesc pentru completare. O sa incerc sa creionez o rezolvare. O sa ma folosesc totusi de lungimea masinii pentru a estima lungimea maxima a umbrei acesteia pe sol (aproximand forma umbrei cu un semicerc cu diametrul egal cu lungimea masinii). Sper ca maine sa reusesc sa fac si un desen si sa vin si cu un calcul. Am scris acum doar ca sa va rog sa mai asteptati putin pana publicati un raspuns, in caz ca aveati de gand sa o faceti...

---

Goguv: Nu mi se pare chiar așa de clar, din start, care este punctul cel mai înalt. De ce? Pentru că la o analiză „ochiometrică” atentă ar fi trei zone care ar putea aspira la această calitate, de cea mai mare înălțime:

.

1.       Acoperișul central, care de fapt este și separat de restul acoperișului.

.

2 și 3. Cele două „lucarne”, aflate dea dreapta și dea stânga acoperișului central de la punctul unu, care par că se înalță suficient să poată aspira la locul întâi în ce privește înălțimea. Desigur că după două, trei măsurători pe poză se poate concluziona că sunt identice. Și atunci rămâne doar una dintre ele spre a fi analizată.

.

Apropo de măsurători. Problema, așa cum am gândit-o, presupune posibilitatea folosirii unui echer gradat pentru a putea măsura diferitele umbre sau dimensiuni de pe imagine (fie direct pe ecran, sau pe o imagine de pe hârtie); sau chiar posibilitatea utilizării Photoshop-ului.

---

În primul rând, scuze pentru răspunsul intârziat.

Legat de problemă, eu nu iau în calcul zonele pe care d-voastră le numiți lucarne (nici nu mi-e clar, de altfel, dacă vă referiți la cele două ferestre mici aflate de ambele părți ale părții mai înalte a acoperișului, ori la părțile mai mari, de tablă, cu laterale mai inalte, de lângă aceste ferestre. Nici nu îmi e clar ce sunt acestea din urmă, nemaivăzând așa acoperiș până acum). Oricare ar fi ”lucarnele”, o analiză ochiometrică nu le-a plasat, cel puțin pentru mine, deasupra părții centrale a acoperisului.

Intenția mea era de a aproxima înălțimea zonei centrale a acoperișului folosind, cum sugerați și dvs, o modalitate de a măsura dimensiunile umbrelor din fotografie folosind ca unitate de măsură de bază lungimea mașinii, pe baza căreia aproximam diametrul umbrei-semicerc a vehiculului încercuit în imagine.

Plecând de la valoarea respectivă as măsura inaltimea acoperisului pe stalpi, tip polată (care e inclinat, deci, bazat pe umbra sa trapezoidala din stanga, ar trebui să calculez si unghiul de inclinare). Apoi, bazat pe umbra acoperisului central care cade pe partea stangă a polatei anterior mentionate, umbra care este si ea tot trapezoidala din cauza inclinarii polatei, as estima o a doua inaltime, relativa la prima. Suma celor doua inaltimi ne va da nivelul de jos al partii inalte a acoperisului. Nu stiu cum as putea calcula inaltimea acestuia in partea sa superioara, insa...

Stiu ca fara un desen nu e foarte clar la ce parti trapezoidale ale umbrelor ma refer, dar deocamdata nu sunt la laptop sa pot prelucra fotografia pentru a le marca...

---

Una din „lucarnele” de care vorbeam (adevărul e că nici eu nu sunt sigur că le spune așa) este cea încercuită în imaginea de mai jos, și notată cu 1a (aici).

.

.

După cum se vede este lungă, are o pantă destul de mare, și pare că ar avea șanse de izbândă. Rezultatele mele finale indică, de asemenea, o „luptă strânsă” pentru supremația la înălțime.

.

Din câte am înțeles traseul urmărit de tine pentru a calcula înălțimea acoperișului central, notat în imagine cu 3, este cel indicat cu culoarea albastră. Este aceeași poveste cu traseul verde pe care l-am ales eu pentru același acoperiș, central.

Numai că panta acoperișului 3 este chestiunea complicată a problemei. Eu n-am reușit să o calculez decât plecând de la panta zonei 2 a acoperișului, iar pe aceasta din urmă am calculat-o din panta zonei 1.

Pe de altă parte panta zonei 1a se poate deduce tot doar din cea a zonei de acoperișului notată cu 1. Și deci pentru a afla înălțimea traseului portocaliu a trebuit să trec tot prin zona 1. De aceea am ales traseul verde așa cum este marcat acum.

.

Dacă ajungi la un rezultat sunt curios, cel puțin, de valoarea finală, pentru a face o verificare a înălțimii obținute de mine.

.

Sper că nu te deranjează modul meu de adresare, „per tu” cum se spune, dar cred că e mai eficient pentru comunicarea de genul acesta. Bineînțeles că mă voi aștepta la „reciprocă”. Dacă nu voi primi un semnal de aprobare voi comuta pe cealaltă variantă de adresare.

---

Bineinteles ca nu ma deranjeaza...

Initial nu am acordat atentie zonei 1a, tratand-o ca fiind una orizontala. Dar acum, la o privire atenta, e clar ca, din moment ce zonele 3 si 1a genereaza umbre de unghiuri diferite pe zona 1 (cu unghiul ascutit mai mare in cazul lui 1a), trebuie sa existe o inclinatie acolo.

Cand o sa fac si un calcul revin...

---

O creionare a unui posibil răspuns.

.

O abordare eficientă a problemei mi s-a părut aceea de a stabili pentru fiecare înclinație a acoperișurilor de interes, sau a razelor solare, o corespondență între un milimetru, măsurat pe imagine, și diferența de înălțime corespunzătoare (în metri) pe teren. Apoi prin simpla măsurare a unor dimensiuni și înmulțirea lor cu corespondentul de pe teren se obțin înălțimile dorite.

.

O primă exemplificare este a umbrelor din imagine.

.

.

Având în vedere că razele soarelui se pot considera paralele, atunci orice punct din imagine va avea umbra după direcția SS₁. Deci punctul M are umbra în punctul M₁ (MM₁ paralelă cu SS₁₎. La dimensiunea imaginii pe care am avut-o la dispoziție am măsurat MM₁ = 10 mm. Deci la dimensiunea umbrei de 10 mm, pe imagine, avem o diferență de nivel între M și sol, în teren, de 2 m (înălțimea mașinii). Adică la 1 mm, pe imagine, îi corespunde o diferență de nivel de 2/10 = 0,2 m, în teren (1mm → 0,2 m). Acum măsurăm SS₁ = 26 mm. Deci înălțimea punctului S față de sol este:  H_S = 26 x 0,2m = 5,2 m.

.

Următoarea etapă: din umbra încercuită cu albastru se deduce panta acoperișului 1. Corespondența în acest caz este: 1mm → 0,0455 m.

.

În continuare din umbra încercuită cu verde se arată că panta acoperișului 1a este aceeași cu cea a acoperișului 1. Deci acoperișul 1a este în prelungirea acoperișului 1.

.

Mai departe, din zona marcată cu violet (mai precis din îmbinarea celor două acoperișuri: 1 și 2) se deduce panta acoperișului 2. Conform măsurătorilor făcute de mine pe poză am dedus: 1mm → (2,5 / 3,5) x 0,0455 m adică: 1mm → 0,0325 m.

.

Din zona încercuită cu galben (mai precis din paralelismul marginii acoperișului 3 și umbra ei de pe acoperișul 2) se deduce că cele două acoperișuri, 2 și 3, au aceeași pantă. Deci și în cazul acoperișului 3 avem corespondența: 1mm → 0,0325 m.

.

Acum, având aceste corespondențe, se pot rapid calcula cele două înălțimi de interes, având dimensiunile măsurate pe poză, conform imaginii de mai jos:

 .

.

H_1a = 26 x 0,2 + 67 x 0,0455 + 1,5 x 0,2 = 8,55 m

 

H₃ = 26 x 0,2 + 26 x 0,0455 + 7,3 x 0,2 + 19,5 x 0,0325 = 8,47 m

 

Trebuie să menționez că aceste calcule le-am făcut pe baza ipotezei unei oarecare simetrii a clădirii. În realitate, la o analiză mai atentă se constată că nu este chiar așa. De exemplu părțile laterale ale clădirii (stânga și dreapta) nu sunt perfect perpendiculare pe axa părții centrale a clădirii. De asemenea marginea acoperișului 3, marcată cu o linie galbenă, nu este exact perpendiculară pe axa longitudinală a acoperișului. Interesant că ambele asimetrii duc la o creștere (desigur destul de mică) a ambelor înălțimi calculate, deci s-ar putea ca în realitate H₃ să fie totuși ceva mai mare decât H_1a !

.

Interesant, dar în alt sens, este și răspunsul la chestiunea suplimentară, pe care o las totuși deocamdată deschisă.