Care este probabilitatea de a extrage o bila alba?

Question

Într-o urna se afla 10 bile albe numerotate de la 1 la 10 si 100 de bile rosii numerotate de la 1 la 100. Extrag o bila pe care scrie numarul 7. Care este probabilitatea ca ea sa fie alba?

Answer 1

Din câte îmi dau seama...

Probabilitatea de a extrage bila 7 este de 2/110, căci sunt 2 bile 7 și 110 bile în total.

Iar probabilitatea ca bila 7, deja extrasă, să fie albă (sau roșie) este de 50%.

Comments

De rulat în Python:

import random

albe = [str(i+1) + 'a' for i in range(10)]
rosii = [str(j+1) + 'r' for j in range(100)]

total = albe + rosii
random.shuffle(total)

incercari = 1000000
gasite_albe = 0
gasite_rosii = 0
for x in range(incercari):
    choice = random.choice(total)
    if choice == '7a':
        gasite_albe += 1
    elif choice == '7r':
        gasite_rosii += 1

print(f"Dupa {incercari} incercari, o bila cu numarul 7 a fost gasita de {gasite_albe + gasite_rosii} ori ({round((gasite_albe + gasite_rosii)*100 / incercari, 2)}%).")
print(f"{gasite_albe} dintre acestea au fost albe ({round(gasite_albe*100 / (gasite_albe + gasite_rosii), 2)}%).")
print(f"{gasite_rosii} dintre acestea au fost rosii ({round(gasite_rosii*100 / (gasite_albe + gasite_rosii), 2)}%).")

---

Habar nu am de Python, dar îmi place nespus cum arată programul. De curiozitate l-am rulat online și confirmă rezultatul. Dacă ați folosit metoda random.choice mai era necesară și cea anterioară de shuffle?

Answer 2

Eu așa văd rezolvarea (dacă am greșit în raționament sper să fiu corectat de cineva mai priceput):

Am folosit pagina de Wikipedia: https://ro.wikipedia.org/wiki/probabilitate.

Am pornit de la definiția clasică:
probabilitatea realizării unui eveniment este raportul dintre numărul de cazuri favorabile și numărul de cazuri posibile.

Deci p=Nf/Np

1) Np (numărul de cazuri posibile): putem extrage orice bila din cele 110 bile.

2) problema serioasă este determinarea Nf (numărul de cazuri favorabile). pentru calculul Nf am gândit așa:

- avem mulțimea bilelor posibil extrase M alcătuită din 2 submulțimi A și R, unde A este mulțimea bilelor albe și R mulțimea bilelor roșii. probabilitatea de a extrage o bilă (orice bilă) p(M)=1/Np=1/110.

- folosesc Axioma 4 a lui Kolmogorov: Dacă intersecția dintre A și B este mulțimea vidă, atunci p(a U b) = p(a) + p(b).

Avem 2 submulțimi ale lui M: M1 = mulțimea bilelor cuprinse între 1 și 10 (albe și roșii) și M2 = mulțimea bilelor cuprinse între 11 și 100 (numai roșii). M1 are numarul de bile nrM1=20 și M2 are nrM2=90. M are numărul de bile nrM=nrM1+nrM2

p(M) = p(M1)+p(M2)

p(M) = p(M1)+p(M2) = 1/nrM

nrM = nrM1+nrM2

p(M1) = (nrM1/nrM)*p(M) – proporția lui M1 din M

p(M2) = (nrM2/nrM)*p(M) – proporția lui M2 din M

p(M1) = p(M)-p(M2) = p(M)*(1-nrM2/nrM) = p(M)*(1-(nrM-nrM1)/nrM) = p(M)*nrM1/nrM

M1 are 2 submulțimi egale: A + R_1..10 (A – albe și R_1..10 – roșii de la 1 la 10)

p(M1) = p(A)+p(R_1..10) = 2*p(A)

p(A) = p(M1)/2 = (p(M)*nrM1/nrM)/2 = ((1/nrM)*(nrM1/nrM))/2

Înlocuind numeric:

p(A) = ((1/110)*(20/110))/2 = (20/(110^2))/2 = 10/(110*110) = 1/(11*110) = 1/1210

p = 1/1210

Comments

Greșeala apare și se propagă de la p(M1) și p(M2).
Corect este p(M1) = nrM1 / nrM și atât, nu mai apare factorul p(M). (cazuri favorabile / cazuri totale, cum bine ați punctat mai sus.)
Se ajunge la p(A) = 10 / 110, ceea ce se putea spune direct,  dar ați ales o cale mai întortocheată. p(A) nu este o soluție pentru că reprezintă doar probabilitatea de a scoate o bila albă. Ea trebuie să fie condiționată de extragerea anterioară a unei bile de 7 ( să-i zic evenimentul B).
Dacă dorim și o soluție de manual pe lângă cea a lui Quark (soluție corectă, una din două: ori albă, ori roșie) putem apela la definiția probabilității apariției evenimentului A condiționată de evenimentul B: P(A|B) = P(AႶB) / P(B)
P(AႶB) = 1 / 110 ; o singură bilă albă de 7 la un total de 110
P(B) = 2 / 110; două  bile de 7 din 110 posibile
P(A|B) = 1 / 2
Rezultatul este independent de numărul de bile, putea(u) fi o singură bilă albă și un milion de bile roșii.

---

Mulțumesc, Gheorghița, pentru lămuriri. Sunt de acord că soluția lui Quark este și corectă, și elegantă.