Pentru a putea publica, trebuie să vă înregistraţi.
Contul se valideaza de admin in cel mult 24 de ore.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

0 plusuri 0 minusuri
159 vizualizari
Intrebare bonus : Care e probabilitatea sa existe cel putin o zodie nereprezentata ?
Novice (110 puncte) in categoria Matematica
0 0

Cum o demonstrație de natură matematică mi se pare cam dificilă dau un raspuns de natură informatică:
P(X = 5) = 0.231165
P(X >= 5) = 0.296989
P(bonus) = 0.929057
Rezultatele au apărut după generarea a 1.000.000 de grupuri de 21 elemente.
Se potrivesc cu datele soluției matematice ori ba?

0 0
problema se poate reinterpreta ca un numar de partitii al lui 21 in maxim 12 parti.In general se foloseste notatia p(n,k) ca fiind numarul de partitii distincte in k parti ca fiind de fapt numarul de siruri x1>=x2.......>=xk>=1

unde x1+x2+...+xk=n.

Numarul de cazuri posibile p(21,1)+p(21,2)+....+p(21,12).

Cazurile favorabile ,cred ca e mai usor sa eliminam din numarul de partitii pe acelea care au pe x1<5  iar pentru bonus favorabile sunt doar p(21,12)
0 0

M-am interesat puțin și am constatat că zodiile sunt diferite ca număr de zile. Sunt:

   - 6 zodii de 30 de zile

   - 4 zodii de 31 de zile

   - una zodie de 29 de zile

   - una zodie de 32 de zile

(În paranteză scriind, nu mi-am închipuit că se consumă atâta energie, aproape degeaba zic eu, pentru a le „manipula”; probabil că merită, și mă gândesc în special la aspectul financiar)

Faptul că repartiția zilelor pe zodii e cam încurcată, complică destul de mult raționamentul (urmat de mine). Așa că pentru a ajunge cel puțin la un rezultat aproximativ am efectuat niște aproximări. Am considerat zodiile egale ca durată, adică aproximativ 30,4 zile (30 zile 9 ore și 36 minute).

Bineînțeles că nu am ajuns la nici un rezultat final, doar la unul parțial.

.

Și atunci, pentru a testa cumva logica abordării, printr-un rezultat final, am simplificat problema cam așa:

Dintr-un eșantion de 5 persoane, care e probabilitatea ca 2 persoane să aibă aceeași culoare a ochilor din 3 culori posibile (deci simplificările sunt: 5 în loc de 21, 2 în loc de 5 și 3 în loc de 12)

.

Ordonând puțin lucrurile:

       O1  O2  O3  O4  O5  -  Cele cinci persoane ale eșantionului.

       C1  C2  C3   -  Cele trei culori posibile ale ochilor.

.

Mersul logic ar fi următorul: Calculăm probabilitatea ca doar O1  O2 că aibă culoarea C1. Înmulțim cu trei (trei culori posibile) și aflăm probabilitatea ca doar O1  O2 că aibă aceeași culoare a ochilor (indiferent care). Apoi rezultatul îl înmulțim cu numărul de combinații posibile a două persoane din cinci, adică C52 = 10 (combinări de 5 luate câte 2) și s-ar zice că rezultă probabilitatea căutată.

.

Problema e că prin această abordare unele combinații posibile se iau în considerare de două ori; deci o parte din ele trebuie scăzute.

De exemplu: O1  O2  au C1   și   O3  O4  au C2   în același timp.

În calculul matematic se pune la socoteală de două ori, o dată când analizăm  O1  O2  au C1  și încă o dată când analizăm  O3  O4  au C2.

În realitate, într-o statistică dacă întâlnim această combinație o socotim o singură dată (numărăm: O1  O2  au C1,  constatăm că ceilalți trei nu au C1, îl trecem ca un caz favorabil și trecem mai departe).

Deci va trebui să eliminăm una din combinații. În lucrul cu probabilități asta se rezolvă împărțind la doi probabilitățile din cele două situații de analiză amintite mai sus.

.

Cazul 1   O1  O2  =  C1  (probabilitatea PC1)

.

Probabilitatea:   O1  O2  =  C1 :  P1   = 1/3 x 1/3 = 1/9

Probabilitatea:   ceilalți trei diferit de C1 :   P2   = (2/3)3 = 8/27

Probabilitatea:   doar  O1  O2  =  C1 :  P3  = P1 x P2 = 1/9 x 8/27 = 8/243

.

Acum, pentru cazul   O1  O2  =  C1  calculăm prob. P4 ca dintre  O3  O4  O5 , doi să aibă aceeași culoare a ochilor din celelalte rămase (adică în afară de C1). Avem șase situații posibile (C32):

.

    1.a)  O3  O4 = C2  :  1/3 x 1/3 = 1/9   

            O5 diferit de C2  :     2/3   

                               Deci:  P1a = 1/9 x 2/3 = 2/27

    1.b)  O3  O4 = C3  :  1/3 x 1/3 = 1/9    

            O5 diferit de C3  :     2/3     

                               Deci:  P1b = 1/9 x 2/3 = 2/27

Prin urmare:        P4.1 = P1a + P1b = 2/27 + 2/27 = 4/27

.

    2.a)  O3  O5 = C2  :  1/3 x 1/3 = 1/9   

            O4 diferit de C2  :     2/3   

                        Deci:   P2a = 1/9 x 2/3 = 2/27

    2.b)  O3  O5 = C3  :  1/3 x 1/3 = 1/9      

            O4 diferit de C3  :     2/3   

                         Deci:    P2b = 1/9 x 2/3 = 2/27

   Prin urmare:       P4.2 = P2a + P2b = 2/27 + 2/27 = 4/27

.

    3.a)  O4  O5 = C2  :  1/3 x 1/3 = 1/9    

            O3 diferit de C2  :     2/3      

                          Deci:   P3a = 1/9 x 2/3 = 2/27

    3.b)  O4  O5 = C3  :  1/3 x 1/3 = 1/9     

            O3 diferit de C3  :     2/3   

                          Deci:   P3b = 1/9 x 2/3 = 2/27

Prin urmare:         P4.3 = P3a + P3b = 2/27 + 2/27 = 4/27

.

Și atunci:      P4 = P4.1 + P4.2 + P4.3 = 3 x 4/27 = 4/9

.

Pentru a elimina una dintre combinațiile care (după cum am arătat mai sus) se iau în considerare de două ori, împărțim P4 la doi, și obținem diferența ce trebuie scăzută din P3 :

            Pdif = P4 / 2 = 2/9

Scădem această diferență și obținem PC1 adică prob. ca doar O1  O2  să aibă C1 :

.

           PC1 = P3 - Pdif x P3 = 8/243 – 2/9 x 8/243 = 56/2187

.

Cazul 2   O1  O2  =  C2  (PC2)

.

Urmând același calcul:  PC2 = 56/2187

.

Cazul 3   O1  O2  =  C3  (PC3)

.

La fel:             PC3 = 56/2187

.

Deci probabilitatea ca doar O1  O2 că aibă aceeași culoare (indiferent care) este:

.

           PO1 O2 final = PC1 + PC1 + PC3 = 56/729 = 0,077

.

Dar cum numărul de combinații posibile a două persoane din cinci este C52 = 10 , înseamnă că probabilitatea căutată este:

.

           Pfinal = C52 x PO1 O2 final                       Pfinal = 0,77

.

Am făcut o scurtă verificare practică cu cinci zaruri (100 de încercări) și am obținut o probabilitate de 0,68. O diferență cam descurajatoare pentru a purcede la o încercare (mult mai complicată prin această abordare) de a rezolva problema cu zodiile.

Totuși s-ar putea ca un test cu 100 de încercări să nu fie suficient pentru a obține un rezultat semnificativ.

Sau, s-ar putea ca raționamentul meu să aibă pe undeva vreo „fractură de logică”. Este motivul pentru care am postat soluția: poate are cineva are răbdare și îmi confirmă sau îmi infirmă temerile, pentru a  merge mai departe la rezolvarea problemei cu zodiile.

0 0

Soluția la problema derivată (mai rezonabilă și chiar plăcută) mi se pare aproape corectă. Eu aș rectifica-o astfel:
PO3O4
 = 1/2 x 1/2 = 1/4, avem de ales doar din 2 opțiuni și nu 3 pentru că alegerea este condiționată de P3 care implică "ceilalți 3 diferiți de C1", PO5 = 1/2  -> P1a = 1/8.
Probabilitățile care urmează se modifică astfel: P41 = 1/4
P4 = 3/4
Pdif = 3/8
Pc1 = 5/243
PO1O2 = 15/243
Pfinal = 150/243 = 0.617

0 0

Iată că temerile unui „Novice” s-au adeverit.

Da, de acord cu rectificarea făcută. Mulțumesc. A mai scăzut și diferența dintre teorie și practică, a mai crescut și moralul meu. Și o să încerc, în măsura în care o să am timp, să duc la capăt și problema zodiilor.

Bineînțeles că nu mă refer la valabilitatea zodiilor. Dacă aș demonstra ce cred eu despre ele, cu siguranță că mi-aș ridica în cap cel puțin jumătate de omenire.

1 0

O altă soluție pentru problema ochioasă:
Distribuția după culoarea ochilor celor 5 persoane trebuie să fie de forma (2, 3, 0) sau (2, 2, 1) cu permutările aferente.
Pentru (2, 3, 0) există C(3, 1) * C(5, 2) * 2 posibilități:
    C(3, 1) - doiul poate avea 3 poziții
    C(5, 2) - cele 2 persoane pot fi alese din C(5, 2) combinații ale celor 5 persoane
    2 - pentru o poziție a doiului fixată, 3 și 0 pot fi plasate în doar doua poziții - (2, 3, 0) sau (2, 0, 3) de ex.
Pentru (2, 2, 1) sunt C(3, 2) * C(5, 4) * C(4, 2) variante:
    C(3, 2) - perechea (2, 2) poate avea 3 poziții
    C(5, 4) - cele 4 persoane care se plasează în perechea de doiuri pot fi alese in C(5, 4) moduri
    C(4, 2) - din cele 4 persoane selectate mai sus sunt C(4, 2) moduri in care putem plasa doua persoane într-o poziție de doi, celelalte dou persoane se duc obligatoriu pe cealaltă poziție de doi.
Trecând la munca brută obțin 60 + 90 = 150 cazuri favorabile și P = 150/35 (rezultat identic, culmea!).
Aici merge pentru că avem doar doua aranjamente, dar pentru problema zodiacală ar fi o mulțime de cazuri de analizat. Cred că în cazul acestei probleme, ideea de rezolvare este importantă și nu neapărat finalizarea ei
.

0 0

Am gasit un exemplu de calcul al probabilitatilor pe Forumul Scientia:

https://forum.scientia.ro/index.php/topic,4176.0.html

Impulsionat de acest exemplu o sa incerc sa rezolv si problema propusa, si problema ochioasa :)

Te rugam sa te autentifici sau sa te inregistrezi pentru a raspunde la aceasta intrebare.

...