Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
1.1k vizualizari

Se notează cu A, B, C unghiurile și cu a, b, c laturile unui triunghi. Să se demonstreze inegalitatea:

\small 60^{\circ }\leq \frac{aA+bB+cC}{a+b+c}\leq 90^{\circ }

Senior (5.0k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

4 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Partea stângă a inegalității se poate demonstra utilizând inegalitatea Cebâșev (cea pentru două șiruri monoton crescătoare), iar partea dreaptă, pe baza inegalităților triunghiului.

În continuare, vom privi membrul din mijloc (pe care îl notăm cu M) ca fiind suma de produse: \frac{a}{a+b+c}A+\frac{b}{a+b+c}B+\frac{c}{a+b+c}C și considerăm, fără a restrânge generalitatea, că lungimile laturilor sunt în ordinea a\leq b\leq c. Atunci avem, pe de o parte A\leq B\leq C (1) (unei laturi mai mari i se opune un unghi mai mare) și, pe de altă parte,  \frac{a}{a+b+c}\leq \frac{b}{a+b+c}\leq \frac{c}{a+b+c} (2)

Demonstrație partea stângă: 

Inegalitatea lui Cebâșev, aplicată mărimilor din (1) și (2), se va scrie: \frac{a}{a+b+c}A+\frac{b}{a+b+c}B+\frac{c}{a+b+c}C\ \geq \frac{1}{3}(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c})(A+B+C)\Leftrightarrow M\geq \frac{1}{3}(A+B+C)\Leftrightarrow M\geq \frac{1}{3}\cdot 180^{0}\Leftrightarrow M\geq 60^{0}.

Demonstrație partea dreaptă: 

Cum a\leq b+c (inegalitatea triunghiului), rezultă 2a\leq a+b+c\Rightarrow \frac{a}{a+b+c}\leq \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{a}{a+b+c}A\leq \frac{1}{2}A (*). Analog, \frac{b}{a+b+c}B\leq \frac{1}{2}B (**)    și     \frac{c}{a+b+c}C\leq \frac{1}{2}C (***). Adunând membru cu membru relațiile (*), (**) și (***), obținem: \frac{a}{a+b+c}A+\frac{b}{a+b+c}B+\frac{c}{a+b+c}C\leq \frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}C, care înseamnă M\leq 90^{0}.

Junior (971 puncte)
0 0
Dacă era după mine,  în inegalitatea din dreapta trebuia "strict mai mic",  dar nu te pui cu rușii. O rezolvare exemplară prin claritate.
...