1. Cele cinci puncte aleatoare determină 5 arce de cerc care satisfac condiția AB+BC+CD+DE+EA = 13 (convenim că distanta dintre 2 puncte alăturate este 1). Observăm că mărimile acestor arcuri de cerc nu pot fi toate diferite între ele pentru că punând valorile minime obținem 1+2+3+4+5=15 > 13. Deducem că cel puțin două arce sunt egale și știind că arcele de cerc egale determină coarde egale, pentagonul aleator are cel puțin 2 laturi egale. Dacă ar avea 3 laturi egale, acestea trebuie distribuite la 5 vărfuri: o latură la două vârfuri , cealaltă la alte două vârfuri diferite și cea de-a treia, inevitabil, unește vârful liber cu unul din cele ocupate deja, ceea ce rezolvă problema (la fel și pentru 4 laturi egale).Rămâne de studiat cazul în care pentagonul are fix două laturi egale (pe desen AE=BC) care nu pleacă din același vârf. Egalitatea aceasta implică și egalitatea diagonalelor patrulaterului format de cele două laturi: BE=AC (subîntind arce egale).
2. O coardă poate avea una din 6 mărimi, cea mai mică corespunde arcului dintre două puncte alăturate și cea mai mare corespunde arcului de cerc de șase unități. Știind că un pentagon are 10 coarde ( C(5,2)=10 ), distribuirea acestor 10 segmente la 6 modele implică existența a 4 perechi de coarde identice sau faptul că o coardă sau mai multe apar de mai mult de două ori în pentagon. Ultimul aspect fiind discutat la (1) rămâne cazul când pentagonul are 4 perechi de coarde identice. Cum două perechi de coarde identice au fost descoperite mai sus, rămân de identificat celelate 2. Distingem 3 situații:
a. Alte două laturi ale pentagonului sunt egale. Este și cazul (întâmplător) desenului nostru: AB=CD (dar putea fi AB=DE, la fel se procedează). Ele trebuie să fie opuse (adică fără vârf comun) și diferite de primele două laturi egale. Diagonalele patrulaterului format vor fi și ele egale, iar una dintre ele este chiar o diagonală din cele două deja egale => avem 3 coarde egale (aici BD=AC, dar AC=BE => BE=BD) => triunghi isoscel).
b. Alte două diagonale ale pentagonului (pe lângă BE=AC) care nu pleacă din același vârf sunt egale. Deși nu este cazul, să presupune pe desenul nostru că BD=CE, (analog pt. AD=CE) => BC=DE, dar BC=AE => AE=DE => triunghi isoscel.
c. Două diagonale (din cele 3 rămase pentru că două deja sunt egale între ele) sunt egale cu două laturi ale pentagonului. O astfel de diagonală nu trebuie să fie egală cu vreuna din cele 4 laturi care pleacă din cele două vârfuri ale sale CE. Daca una din cele două este cea are unește laturile deja egale (CE) obținem un paralelogram (ABCE), imposibil pentru configuratia celor 13 puncte.
Dacă una din cele două nu este cea are unește laturile deja egale (AD sau BD) => ea este egală cu una din cele două laturi egale (AD=BC=AE sau BD=AE=AC) => triunghi isoscel.
Pentru o altă configurație a celor 13 puncte, diferită de cea din desen, logica este aceeași, pe care o rezum: pentru ca un triunghi să fie isoscel trebuie ca dintr-un vârf să plece două coarde egale, se deduce pe baza analizei numărului și tipurilor de coarde că situația cea mai defavorabilă presupune 4 perechi de coarde egale și se analizează toate posibilitățile.