Mici precizări:
O partiție a unei mulțimi reprezintă un grup de submulțimi care nu au niciun element comun dar care reunite formează mulțimea respectivă.
Un exemplu de partiție pentru {1,2,...,8,9} este {1}, {2,3}, {4,5,6,7,8,9}.
Cardinalul unei mulțimi este numărul de elemente al mulțimii.
Daca P(x) = P(y) înseamnă că x și y aparțin aceleiași submulțimi sau se află fiecare, separat, într-o submulțime cu același număr de elemente.
Pasul 1:se arată că în mulțimea M={1, 2,..., 9} există cel puțin 4 elemente cu același P():
- dacă partiția conține o submulțime de cel puțin 4 elemente, concluzia este evidentă
- dacă partiția este formată doar din submulțimi de 1, 2 sau 3 elemente, scriem 9 = a*1+b*2+c*3, a, b, c fiind numărul de submulțimi de 1, 2 și 3 elemente. Se observă că pentru a4 sau b2 sau c2 există 4 elemente cu același P (dacă nu este prea limpede, de exemplu, pentru b=2 avem două submulțimi de câte două elemente, deci 4 elemente cu P=2). Mai rămâne a<4, b=1, c=1, caz exclus pentru că a*1+b*2+c*3 ar fi maxim 8. Pentru a sau/și b sau/și c luând valori nule nu mai insist.
Deci, în mulțimea M există cel puțin 4 elemente cu același P().
Pasul 2: scriind 9 = a*1+b*2+c*3+d*4+....+h*8+i*9 se observă că nu pot exista simultan 4 dintre variabilele a, b,...,i (cazul cel mai favorabil fiind 1*1+1*2+1*3+1*4 = 10 > 9). Concluzia este că numărul maxim de tipuri diferite de submulțimi (submulțimi cu număr diferit de elemente) este de 3.
Punând cap la cap concluziile de la pasul 1 și pasul 2, avem 4 elemente cu același P() pe care într-o altă partiție Q le putem distribui în maxim 3 tipuri de submulțimi și conform principiului lui Dirichlet ( al cutiilor, porumbeilor, etc.) două elemente vor cădea în submulțimi cu același Q().