Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

1 plus 0 minusuri
768 vizualizari

Încă o problemă de tipul celor cu rezultat contraintuitiv. E posibil să mai fi avut o problemă similară acum ceva vreme, sper totuși să nu fie cazul.

Să presupunem că Terra e o sferă perfectă și că avem o sfoară inextensibilă de lungime egală cu lungimea ecuatorului care o înconjoară trecând prin cei doi poli. Lungim sfoara cu 1 metru și tragem în sus de sfoară de la Polul Nord până o îndreptăm perfect (cam ca în imaginea de mai sus).

La ce înălțime de sol se va ridica sfoara (vă rog să și votați în sondaj după cum vă dictează intuiția, înainte de a face calculele)?

Senior (8.1k puncte) in categoria Matematica
0 0
Am făcut un calcul rapid și cred că am nimerit-o bine în sondaj. Dacă însă sondajul avea mai multe opțiuni cred că n-o mai nimeream.
1 0
Analizându-vă rapid comentariul, cred că știu cum ați votat.

Și eu am votat la fel :))
0 0
Gata. Am inchis sondajul. Feel free to share a solution ☺

1 Raspuns

5 plusuri 0 minusuri

Iaca soluția mea.

Ne uităm la triunghiul dreptunghic OAT format din următoarele trei puncte:
- O: centrul Pămîntului,
- A: punctul de unde ținem sfoara întinsă,
- T: punctul de tangență al sforii cu suprafața Pămîntului.

Evident, unghiul T e drept. Ca urmare tangenta unghiului O este:
tg(O) = AT / OT

Segmentul AT este egal cu lungimea arcului a subîntins de același unghi O plus jumătate din cît am lungit sfoara, și anume d = 0,5 m. Iar lungimea lui OT este raza Pămîntului, pe care o iau r = 6371000 m. Așadar tg(O) = (a + d) / r.

Unghiul O este probabil foarte mic (vom vedea mai încolo că este), așa că mă pot gîndi la aproximații ale tangentei, pentru că o soluție analitică exactă nu găsesc. Dacă iau aproximația cea mai brută tg(O) ≅ O, atunci îmi iese că sfoara nu se lungește deloc, ceea ce nu merge, deci trec la următoarea aproximație din seria Taylor pentru tangentă: tg(x) ≅ x + x^3/3. Astfel după puțină aritmetică obțin că unghiul O exprimat în radiani are valoarea (aproximativă) următoare: O ≅ (3d/r)^(1/3).

Pun valorile în formulă și găsesc că unghiul O este de circa 0,0062 radiani, adică vreo 0,35 grade. Calculez de curiozitate și lungimea arcului subîntins: a = 39340 m, adică vreo 39 km. Deci e într-adevăr un unghi foarte mic și o distanță minusculă în comparație cu circumferința Pămîntului.

Mă întorc la același triunghi de la început și calculez acum cosinusul aceluiași unghi O: cos(O) = r / (r + h), unde h este înălțimea lui A față de suprafața Pămîntului, adică înălțimea cerută de problemă. Găsesc pentru h formula:

h = r * (1 / cos(O) -1)

Aș putea face și aici aproximații ale lui cosinus, ca să iasă o formulă în raport cu r și d, dar mi s-a făcut puțin lene. Calculez h cu calculatorul și-mi iese 121,5 m. Deci ultima opțiune din sondaj. (Dar dacă sondajul mi-ar fi dat și o opțiune cu h > 1000 m cred că m-aș fi păcălit și aș fi ales-o pe aceea.)

Cît despre intuiție, h nu are cum să fie mai mic decît 0,5 m. Oricît ar fi Pămîntul de mic, punctul unde ciupești sfoara se îndepărtează de suprafață cu cel puțin 0,5 m, dar în cazul unui Pămînt mult mai mare decît 0,5 m sfoara face acolo un unghi foarte obtuz, și deci punctul se îndepărtează cu mult mai mult de 0,5 m. Probabil cei care au ales opțiunea „sub 1 mm” s-au lăsat impresionați de acel „contraintuitiv” din titlu.

E o problemă frumoasă. Din punct de vedere matematic e păcat că a fost nevoie să recurg la aproximarea tangentei, altfel ar fi fost și mai frumoasă.

PS. Între timp mi-a trecut lenea și am dezvoltat 1/cos(x) în serie Taylor, așa că pot da o formulă cu cap și coadă, deși în continuare doar aproximativă:

h ≅ 1/2 * (3*d)^2/3 * r^1/3

Expert (12.9k puncte)
2 0
Am stat puțin pe gânduri când am ales să pun și cuvântul contraintuitiv în titlul întrebării. Când am descoperit problema, primul meu gând, pe care mi-am imaginat că-l vor avea majoritatea cititorilor, a fost că 1 metru în plus de sfoară nu poate avea cine știe ce efect raportat la circumferința planetei, deci, strict intuitiv, am bănuit că foarte mulți vor avea tendința să aleagă opțiunea nr. 1, cea cu sub 1 mm. Deci mie personal aceea mi se pare varianta de ales, strict dictată de intuiție, pentru omul fără aplecare pentru geometrie. Și asta pentru că, din punctul meu de vedere, mintea umană nu este obișnuită să opereze cu asemenea unghiuri extreme care să subîntindă arce de cerc de lungimi uriașe, dar foarte mici relativ la cercul părinte.

Deși avem la dispoziție ideea foarte simplă, pe care ați menționat-o și dvs., că h nu are cum să fie mai mic decât jumătate de metru, în opinia mea mintea umană are tendința să judece relativ problema, raportând totul la dimensiunile uriașe ale planetei.

Cred că aș fi putut pune, în același registru, și următoarea întrebare: dacă avem o minge de fotbal și o planetă, și le mărim ambelor circumferința cu câte 1 metru, cu cât crește raza mingii, respectiv a planetei? Intuiția mea e că foarte puțini vor spune că cu aceeași lungime. Majoritatea vor avea tendința de a spune că în cazul planetei efectul trebuie să fie mult, mult mai mic, din moment de respectivul metru se distribuie pe un corp geometric atât de mare. Cred că suntem cam în același registru al intuiției ca mai sus...
...