Probabilitati matematice

Question

Punem trei cartonase colorate intr-o cutie: unul este de culoare rosie pe ambele fete, altul este alb tot pe ambele fete si ultimul, rosu pe o fata si alb pe cealalta. Sa presupunem ca trag un cartonas. Scot unul cu fata rosie deasupra. Nu stim ce culoare are pe cealalta fata. Care sunt sansele (probabilitatea) ca acest carton sa aiba si cealalta fata rosie?

Answer 1

50%.
Numai un singur cartonas mai poate avea cealalta parte de culoare rosie, din maxim doua cartonase  care pot avea una din fete de culoare rosie.
Deci nr cazuri favorabile este 1, iar nr cazuri posibile este 2.
Probabilitatea este 1/2 sau 50% .

Comments

Mai urmează să demonstrați că cele două cazuri posibile sînt și echiprobabile. Atunci da, răspunsul ar fi într-adevăr 50%.

Dar nu sînt.

---

Eu am plecat numai de la a doua parte a problemei, in care se mentioneaza ca acel cartonas extras are pe o parte culoarea rosie.
Daca doar doua cartonase pot avea pe o parte culoarea rosie, al treilea iese din calcul.
Daca unul din cele doua are pe cealalta parte culoarea rosie si unul culoarea alba, m-am gandit ca problema se reduce la probabilitatea ca o moneda sa cada cu "stema" sus dintr-o aruncare.
Acesta a fost rationamentul meu, acesta l-am prezentat.
Ca nu-i corect sau complet este partea a doua.
Eu doar am incercat sa dau un raspuns.

Answer 2

În clipa cînd am scos un cartonaș din cutie, cu o anumită față în sus, există 6 cazuri echiprobabile:

- cartonașul roșu-roșu cu o față în sus
- cartonașul roșu-roșu cu cealaltă față în sus
- cartonașul roșu-alb cu fața roșie în sus
- cartonașul roșu-alb cu fața albă în sus
- cartonașul alb-alb cu o față în sus
- cartonașul alb-alb cu cealaltă față în sus

(Nu are importanță că, de exemplu, primele două cazuri din listă nu diferă vizual prin nimic. Ele sînt chiar și așa tot echiprobabile. Dacă vrem să le distingem cumva putem să facem un semn pe fiecare față a cartonașelor.)

Apoi ne uităm la cartonașul extras și constatăm că fața de deasupra e roșie. Asta înseamnă că dintre cele 6 cazuri rămîn posibile 3, și anume primele 3 din lista mea de cazuri. Acestea 3 rămase sînt în continuare echiprobabile, pentru că n-am făcut nici o operație care să le schimbe probabilitatea.

Dintre cele 3 cazuri, în două fața de jos e roșie, iar în unul e albă. Ca urmare, probabilitatea cerută de problemă este 2/3.

Comments

In momentul in care este extras un cartonas si ulterior  este si mentionat "ce fel de cartonas"  nu sunt restranse cazurile echiprobabile prin simpla precizare a fetei rosii deasupra ?
Daca nu, atunci inseamna ca asta nu am luat eu in calcul mai sus.

---

AdiJapan, dacă evenimentul extragerii unei fețe roșii e sigur, atunci e cum spuneți dumneavoastră. Dar dacă nu (pentru mine enunțul nu e foarte clar) trebuie luată în calcul și probabilitatea ca prima față să fie roșie din toate cele 6 posibilități și probabilitatea cerută nu mai e 2/3

---

CiprianM, pentru simplitate să zicem că facem experimentul de 6000 de ori, iar fiecare din cele 6 cazuri iese de cîte 1000 de ori (neglijăm fluctuațiile statistice). În 3000 de cazuri constatăm că fața de sus a cartonașului este roșie. Dintre aceste 3000 de cazuri, numărul celor în care și fața de jos a cartonașului este tot roșie rămîne 2000 și nu se schimbă prin eliminarea celor 3000 de cazuri cînd fața de sus iese albă. Deci probabilitatea cerută este 2000/3000, adică 2/3.

Puiu, enunțul spune clar: „Scot unul cu fata rosie deasupra.” Prin eliminarea cazurilor cînd fața de sus e albă, probabilitatea ca fața de sus să fie roșie devine 100%. Nu reușesc să citesc enunțul în așa fel încît să reiasă că fața de sus mai poate fi și albă.

---

AdiJapan, la fel citesc și eu enunțul, doar că ipoteza existenței cartonașului alb-alb devine inutilă în aceste condiții. Puteau fi doar două cartonașe, roșu-roșu și roșu-alb iar soluția era aceeași. Puteau fi și mai multe cartonașe, de exemplu încă unul verde-verde, iar soluția era aceeași.

În plus, luarea în considerare a cartonașului alb-alb ar fi fost un prilej de folosire a probabilităților condiționate.

Dar enunțul e cel care e, iar răspunsul dumneavoastră e corect. 

---

Mie îmi plac problemele care conțin și informații inutile. Sînt mai aproape de problemele reale, la care trebuie mereu să decizi de ce informații ai nevoie.

---

Da, acum am inteles mai bine ce vreti sa spuneti.