Cercuri înscrise

Question

Patrulaterul convex ABCD are proprietatea : AB + CD = BC + DA. Cum puteți arăta că cercurile înscrise în triunghiurile ABC și ACD sînt tangente?

Answer 1

Cu notațiile din desenul de mai sus relația din ipoteză devine z+x+t+u=x+y+v+u => z+t=y+v (1). Pe de altă parte AC=AN+NC=AM+MC => z+y=v+t (2). Scăzând (2) din (1) obținem t=y sau CM=CN, adică M=N - punctele de tangență ale cercurilor cu diagonala AC coincid, deci ele sunt tangente.

Comments

Gandim la fel:D.Cam in acelasi mod am gandit si eu doar ca nu am mai postat raspunsul.

---

ABCD și EFGH sunt, cumva, asemenea (chiar și fără identitatea din ipoteză)? Întrebam doar...

---

Dacă "patrulatere asemenea" înseamnă proporționalitatea laturilor, cred că ea este exclusă aici. Dar dacă sînteți de altă părere nu ezitați să o declarați.

---

Ok. Am găsit timp să reflectez şi am ajuns la aceeaşi concluzie (dacă am modifica doar una din razele cercurilor, se vor modifica lungimile a trei din laturile lui EFGH si doar a două din laturile lui ABCD, deci nu s-ar păstra o eventuală proporţionalitate în toate situaţiile - ori poate or fi existând justificări şi mai simple/directe...)