Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
570 vizualizari

Suma primelor n numere prime este An. Cum se stabilește că există întotdeauna un pătrat perfect între An și An+1?

Senior (5.0k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

4 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Din enunț, relația de recurență este An+1 = An + pn+1 .

Dacă între doi întregi pozitivi a < b este îndeplinită relația 

2\sqrt{a}+1 < b-a ,

atunci între a și b există un pătrat perfectiar în cazul nostru este suficient să arătăm că  2\sqrt{A_{n}}+1 < p_{n+1} .

Presupunem că relația este adevărată pentru sumele anterioare An-1 și An , iar  2\sqrt{A_{n-1}}+1 < p_{n} .

Trecând 1 din membrul stâng în partea dreaptă și ridicând ulterior la pătrat ajungem la :

4\cdot A_{n-1} < p_{n}^{2}-2p_{n}+1

Adunăm în fiecare membru 4pn , iar conform relației de recurență se ajunge la :

4\left (A_{n-1}+p_{n} \right ) < \left (p_{n}^{2}-2p_{n}+1 \right )+4p_{n}

4\cdot A_{n} < p_{n}^{2}+2p_{n}+1

4\cdot A_{n} < \left (p_{n}+1 \right ) ^{2}

2 \sqrt{A_{n}} < p_{n}+1

Deoarece diferența dintre două numere prime impare consecutive este cel puțin 2, putem scrie 

p_{n}+1 \leq p_{n+1}-1

și completăm penultima relație 

2 \sqrt{A_{n}} < p_{n}+1 \leq p_{n+1}-1

de unde rezultă că 

2 \sqrt{A_{n}}+1 < p_{n+1} .

Adică exact condiția suficientă astfel încât între An și An+1 să existe un pătrat perfect.

În concluzie, prin inducție, rezultă că dacă enunțul este adevărat pentru An-1 și An , astfel încât 2\sqrt{A_{n-1}}+1 < p_{n} , atunci el este adevărat și pentru An și An+1 , astfel încât  2\sqrt{A_{n}}+1 < p_{n+1} .

Pentru n=4 condiția este satisfăcută :

2\sqrt{2+3+5+7}+1< 11

ceea ce înseamnă  că pentru orice n mai mare ca 4 va fi adevărată relația 2\sqrt{A_{n}}+1 < p_{n+1} , de unde rezultă că între An și An+1 există un pătrat perfect.

Pentru n mai mic decât 4 putem stabili prin calcul, că între An și An+1 există un pătrat perfect.

Junior (584 puncte)
1 0

Nu înțeleg sub nici o formă :"Dacă între doi întregi pozitivi a < b există un pătrat perfect, atunci trebuie îndeplinită relația :

2\sqrt{a}+1 < b-a ".  Dacă b = 17 și a = 15 , cu un pătrat perfect între ele, ce iese? Altfel, inducția este condusă impecabil.

0 0

Da, aveți dreptate, implicația trebuie inversată :

Dacă între doi întregi pozitivi a < b este îndeplinită relația :

2\sqrt{a}+1 < b-a 

atunci între a și b există un pătrat perfect.

Sunt sigur că vă dați seama cum rezultă aceasta.

Dacă considerați necesar vă scriu și o demonstrație simplă.

Voi corecta în mesajul inițial observația Dumneavoastră.

Edit:

Dar tot nu iese pentru că ulterior, la n-1,  m-am bazat tot pe această implicație incorectă rezultată din observația dvs.

Deci trebuie reanalizat.

0 0
Ok, am corectat și completat în răspuns.

Mulțumesc pentru observație.
0 0

Partea cu u care apăruse, temporar văd acum, nu avea ce căuta și era și eronată. Felicitări.

0 0
Așa este, era eronată, mi-am dat seama ulterior, imediat după ce am postat.
Am încercat eu să corectez în grabă, dar...graba strică treaba.
0 0

Si totusi: cum se demonstreaza propozitia: "

Dacă între doi întregi pozitivi a < b este îndeplinită relația :

2\sqrt{a}+1 < b-a atunci între a și b există un pătrat perfect."?

adica: daca spuneti ca este o demonstratie simpla, banuiesc ca faceti referire la  \[sqrt{a}+1]^{^{2}}

0 0

În modul următor, Doamna Camelia :

Fie a astfel încât 

1.  u2 < a < (u+1) ,

de unde rezultă că   2u+1< 2\sqrt{a}+1​ .

În mod similar, rezultă că 

2(u+1)^{2}< u^{2}+ 2\sqrt{a}+1<a + 2\sqrt{a}+1

Fie b astfel încât   2\sqrt{a}+1 < b-a  rezultă că  

3.  a+ 2\sqrt{a}+1< b ,

iar din inegalitățile 1,2 și 3 rezultă că :

a< (u+1)^{2}<a + 2\sqrt{a}+1< b

0 0
Intrebari:

1. De unde rezulta aceasta inegalitate din prima relatie? Se deriveaza?!?!

2. De unde stim ca exista un astfel de b?
0 0

1. De unde rezulta aceasta inegalitate din prima relatie? Se deriveaza?!?!

Bănuiesc că vă referiți la cum rezultă că   2u+1< 2\sqrt{a}+1  din relația  u2 < a < (u+1)2 .

Dacă u2 < a rezultă că  u< \sqrt{a}  , pentru că vorbim de întregi pozitivi, înmulțim cu 2  fiecare membru al inegalității  u< \sqrt{a} , adunăm ulterior 1 în fiecare membru și obținem  într-un final 2u+1< 2\sqrt{a}+1 .

2. De unde stim ca exista un astfel de b?

Aici mă gândesc că vă referiți la:

Fie b astfel încât   2\sqrt{a}+1 < b-a  ...

Dacă avem valoarea lui a, încadrată în limitele inegalității 1, b există pentru simplul fapt că există o infinitate de numere mai mari decât  \left (\sqrt{a}+1 \right )^{2} .

1 0

relatia pe care vrea sa zica ciprian pleaca totusi de la o idee partial eronata dar dupa aceea corectata de Ciprian de aceea nu functioneaza cu valorile date de Gheorghita.

Daca \sqrt{b}-\sqrt{a}>1 atunci avem numar intreg in intervalul dintre ele.Relatie care duce la conditia din problema.Totusi aceasta conditie nu e si suficienta fapt relevat de valorile respective ,deci afirmatia daca intre a si b exista un patrat perfect asta nu inseamna ca intre radicali diferenta e mai mare ca 1.

...