Din enunț, relația de recurență este An+1 = An + pn+1 .
Dacă între doi întregi pozitivi a < b este îndeplinită relația
,
atunci între a și b există un pătrat perfect, iar în cazul nostru este suficient să arătăm că .
Presupunem că relația este adevărată pentru sumele anterioare An-1 și An , iar .
Trecând 1 din membrul stâng în partea dreaptă și ridicând ulterior la pătrat ajungem la :
Adunăm în fiecare membru 4pn , iar conform relației de recurență se ajunge la :
Deoarece diferența dintre două numere prime impare consecutive este cel puțin 2, putem scrie
și completăm penultima relație
de unde rezultă că
.
Adică exact condiția suficientă astfel încât între An și An+1 să existe un pătrat perfect.
În concluzie, prin inducție, rezultă că dacă enunțul este adevărat pentru An-1 și An , astfel încât , atunci el este adevărat și pentru An și An+1 , astfel încât .
Pentru n=4 condiția este satisfăcută :
ceea ce înseamnă că pentru orice n mai mare ca 4 va fi adevărată relația , de unde rezultă că între An și An+1 există un pătrat perfect.
Pentru n mai mic decât 4 putem stabili prin calcul, că între An și An+1 există un pătrat perfect.