Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
724 vizualizari

Laturile și diagonala unui dreptunghi sînt numere întregi. Cum se arată că aria unui astfel de dreptunghi este un număr multiplu de 12?

Senior (5.0k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Dacă lățimea, lungimea și diagonala unui dreptunghi sunt numere întregi, valorile acestora trebuie să fie triplete pitagoreice.

Soluțiile primitive ale ecuației x2 + y2 = z2 sunt de forma 

x=\frac{u^{2}-v^{2}}{2}   ,  y=u\cdot v  ,  z=\frac{u^{2}+v^{2}}{2} 

cu u, v impare prime între ele, x, y lățimea, respectiv lungimea, iar z diagonala.

Aria dreptunghiului va fi așadar 

A=u\cdot v\frac{u^{2}-v^{2}}{2}=\frac{u\cdot v\cdot (u-v)(u+v)}{2}

u și v sunt ambele impare și le scriem sub forma u=2k+1 și v=2q+1 .

(u-v)=(2k+1)-(2q+1)=2(k-q) 

(u+v)=(2k+1)+(2q+1)=2(k+q+1)

(u-v)(u+v)=4(k-q)(k+q+1)

k+q+1=(k-q)+(2q+1) de unde rezultă că dacă (k-q) este impar, atunci (k+q+1) este par (fiind suma a două numere impare).

Dacă (k-q) este par, atunci (k-q)(k+q+1) se divide cu 2, 

iar (u-v)(u+v) se divide cu 8, 

iar dacă (k-q) este impar, atunci (k+q+1) este divizibil cu 2, 

caz în care (u-v)(u+v) se divide cu 8.

Dacă u și v sunt impare, prime între ele, iar unul dintre ele se divide cu 3, atunci uv este divizibil cu 3.

Dacă niciunul nu se divide cu 3, iar ambele sunt de forma 3t+1, sau 3t+2, atunci diferența lor, (u-v), este divizibilă cu 3.

Dacă niciunul nu se divide cu 3, iar unul este de forma 3t+1, iar celălalt de forma 3t+2, atunci suma lor , (u+v), se divide cu 3.

Aceasta înseamnă că (u-v)(u+v) se divide cu 3 și cu 8, dacă u și v nu se divid cu 3.

Fie (u-v)(u+v)=24s, atunci aria va fi :

A=u\cdot v\frac{u^{2}-v^{2}}{2}=u\cdot v\frac{24s}{2}=12\cdot u\cdot v\cdot s

Dacă u sau v este divizibil cu 3, atunci uv = 3t, iar (u-v)(u+v)=8s și aria va fi 

A = u\cdot v\frac{(u-v)(u+v)}{2}=12\cdot s\cdot t

Celelalte soluții pentru tripletele pitagoreice se obțin prin înmulțirea soluțiilor primitive cu un întreg pozitiv nenul n:

(nx)2 + (ny)2 = (nz)2 , situație în care aria va fi n2xy, deci divizibilă cu 12, dacă xy este divizibil cu 12.

Junior (584 puncte)
0 0

De ce "Dacă lățimea, lungimea și diagonala unui dreptunghi sunt numere întregi, valorile acestora trebuie să fie triplete pitagoreice"? Cum se poate demonstra?

Stiti cumva unde asputea gasi niste carti ale matematicianului Sierpinski?

0 0

Triunghiul făcut de lățimea, lungimea și diagonala unui dreptunghi este un triunghi dreptunghic în care putem aplica teorema lui Pitagora.

În enunțul problemei doamnei Gheorghița este menționat faptul că laturile și diagonala sunt numere întregi, ceea ce înseamnă că soluțiile ecuației din teorema lui Pitagora sunt trei întregi pozitivi (triplet pitagoreic).

Fiind numere întregi, forma generală a soluțiilor primitive (prime între ele)  ale ecuației x2+y2=z2 , poate fi determinată folosind criterii de divizibilitate.

Putem stabili că dacă x și y  sunt prime între ele nu pot fi ambele pare, deci cel puțin y este impar.

y2 = z2-x2 = (z-x)(z+x) , iar pentru că z și x sunt prime între ele, înseamnă că  (z-x) și (z+x) vor fi de asemenea prime între ele cu (z-x) = v2  iar  (z+x) = u2 , 

astfel încât (z-x)•(z+x) = u2•v2=y2 , deci uv=y, cu u și v impare prime între ele (pentru că y este impar, iar (z-x) și (z+x) sunt prime între ele) .

(z+x) - (z-x) = u2 - v= 2x , iar 

(z+x) + (z-x) = u2 + v= 2z, adică soluțiile 

x=\frac{u^{2}-v^{2}}{2}    ,   y=u\cdot v  ,  z=\frac{u^{2}+v^{2}}{2}  .

Din păcate nu știu ce indicații v-aș putea da privind vreo carte a lui Sierpinski. Bănuiesc că ați putea găsi ceva și pe net.

0 0
Cartea lui Sierpinski stiu ca se afla in biblioteca Facultatii de Matematica. M-ar fi interesat un xerox dupa Theory of Numbers.

Intrebare: de ce DACA x si z sunt prime intre ele RESULTA z-x, z+x) = 1?
0 0

În primul rând, vorbim de x, y și z ca soluții primitive ale ecuației x2+y2=z2 .

Dacă y este impar, atunci x și z au paritate diferită, pentru că altfel, dacă ar avea aceeași paritate, atât z-x, cât și z+x vor fi numere pare, ceea ce ar însemna că y este par.

Dacă z și x sunt prime între ele și au paritate diferită, atunci z-x și z+x sunt ambele impare, reprezentând suma și diferența dintre un număr par și un număr impar.

Dacă am presupune că z-x și z+x nu sunt prime între ele și ar avea un factor prim comun u (diferit de 1), atunci putem scrie z-x=uv, iar z+x=uw, cu u, v, w toate impare pentru că z-x și z+x sunt ambele impare, iar factorii lor trebuie să fie toți impari.

De unde rezultă că 2z=u(v+w), iar 2x=u(w-v), ceea ce ar însemna că atât z, cât și x ar trebui să fie divizibile cu u impar și nu ar mai fi prime între ele.

Dar z și x sunt prime între ele, reducerea la absurd duce la o contradicție, iar în concluzie, dacă z și x sunt prime între ele și au paritate diferită, atunci, z-x și z+x sunt ambele impare prime între ele.

Dacă z și x ar fi ambele impare prime între ele, atunci cel mai mare divizor comun al lui z-x și z+x este 2.

...