Dacă tot nu încearcă nimeni, îndrăznesc eu.
O demonstrație riguroasă a problemei ar arăta cam așa.
Separăm k în valori pare și valori impare și să stabilim o notație care ușurează scrierea matematică a demonstrației.
Să notăm ultima persoană rămasă în picioare prin eliminarea acestora din 2 în 2 cu R(k).
Analizăm pentru început cazul în care k este par, k=2q :
1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 2q
Evident, primele persoane ce vor trebui eliminate sunt persoanele corespondente numerelor pare. Persoanele care rămân sunt cele corespondente numerelor impare :
1, 3, 5, 7, 9, ..., (2q-1)
Dacă ultima persoană eliminată este cea cu numărul 2q, următoarea persoană eliminată va fi cea cu numărul 3 și să scriem un al doilea șir de q numere consecutive dedesubt:
1, 3, 5, 7, 9, ..., (2q-1)
1, 2, 3, 4, 5, ..., q
Putem stabili că poziția numărului corespondent ultimei persoane rămase în picioare din primul șir va fi identic cu poziția ultimei persoane rămase în picioare prin eliminarea în aceeași manieră din 2 în 2 în al doilea șir, pentru că în ambele șiruri eliminarea se începe cu al doilea termen al șirului.
De aici, relația de corespondență între un număr u din primul șir și cel de dedesubt, v, este , iar folosind notația menționată anterior,
putem stabili că ,
deci R(2q) = 2•R(q)-1 .
/
În continuare, cazul în care k este impar, k=2q+1 .
Și în acest caz, primele persoane care vor fi eliminate vor fi acelea corespondente numerelor pare, iar cele care rămân vor fi cele impare :
1, 3, 5, 7, 9, ..., (2q+1)
cu diferența că în acest caz următoarea persoană ce va trebui eliminată va fi prima.
Ca și în cazul anterior, rescriem acele două șiruri :
1, 3, 5, 7, 9, ..., (2q+1)
1, 2, 3, 4, 5, ..., (q+1)
În această situație însă, poziția ultimei persoane în primul șir nu va mai corespunde cu poziția ultimei persoane rămase în picioare în al doilea șir, prin eliminarea în aceeași manieră, deoarece în primul șir eliminarea începe de la 1, iar în al doilea șir eliminarea începe de la 2.
Pentru a sincroniza poziția, rescriem șirurile în felul următor :
1, 3, 5, 7, 9, ..., (2q+1)
....1, 2, 3, 4, ......., q
Chiar dacă șirurile nu mai corespund la prima poziție, nu mai este nevoie să luăm în calcul prima poziție pentru că în primul șir 1 va fi primul număr eliminat, iar în al doilea șir eliminarea începe în mod normal, de la 2, și putem spune că poziția ultimei persoane rămase în primul șir va corespunde cu poziția ultimei persoane rămase în al doilea șir.
În felul acesta, folosind notațiile respective,
stabilim că ,
deci R(2q+1) = 2•R(q)+1 .
Aceasta înseamnă că
R(2q+1) - R(2q) = 2 = (2•R(q)+1) - (2•R(q)-1).
Să analizăm situația pentru k par , k = 2n :
R(2n) = 2•R(2n-1)-1.
Pentru k=4, rezultă că R(22) = 2•R(21)-1 = 1 și continuând în aceeași manieră consecutivă, stabilim că dacă k este o putere de 2, ultima persoană care va rămâne în picioare va fi întotdeauna cea cu numărul 1.
Să analizăm situația când k este impar, k = 2n - 1.
Pentru k = 22 - 1 = 3, ultima persoană rămasă în picioare este a treia persoană, ceea ce înseamnă că pentru k = 23 - 1, ultima persoană va fi 2•3 + 1 și tot așa, stabilim că pentru k = 2n - 1 , ultima persoană rămasă în picioare va fi cea cu numărul 2n - 1, adică ultima.
În concluzie, ultimele persoane rămase în picioare prin eliminarea din 2 în 2 începând cu a doua, vor fi în ordine consecutivă pentru valori consecutive ale lui k cuprinse între 2n-1 inclusiv și 2n - 1 inclusiv :
1, 3, 5, 7, 9, ..., 2n - 1.