Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

1 plus 0 minusuri
791 vizualizari

Problema îi aparține lui zec. 

Din cifrele 1....9 se pot forma trei numere de cîte trei cifre fiecare, fiecare cifră apărînd o singură dată în toate cele trei numere. 
 Cîte produse distincte se pot forma cu 3 numere de forma dată?

Scuze zec, mi s-a părut și mie interesantă și demnă de propus membrilor scientia.ro.

Senior (5.0k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

1 plus 0 minusuri
Mai întîi cele 9 cifre se pot permuta în 9! feluri, deci se formează o listă cu 362880 de ordonări posibile. Apoi fiecare șir de 9 cifre îl tai în 3 numere de cîte 3 cifre (și pun semnul înmulțirii între numere). Lista rămîne la fel de lungă, dar din cauză că înmulțirea este comutativă, produsele nu sînt toate distincte. Mai exact, fiecare produs apare în listă de 3! ori, cu factorii permutați.

În total există deci 9! / 3! permutări distincte, adică 60480.

Se poate întîmpla ca valoarea a două dintre aceste produse să fie întîmplător aceeași, dar din enunț nu-mi dau seama dacă trebuie să păstrez numai produsele care dau rezultate distincte.
Expert (12.9k puncte)
0 0

Ar trebui să mai luați în calcul doar faptul că oricare două numere diferite au factorizare diferită, iar dacă din lista dumneavoastră eliminați doar combinațiile care duc la același produs prin comutativitate, celelalte combinații care rămân trebuie să producă produse diferite.

În rest mi se pare super ideea cu tăiatul în trei al șirurilor.

Eu mă apucasem de scris formule și socoteli, când de fapt modul în care ați gândit mi se pare mult mai simplă.

0 0
Trebuie  evaluat daca avem produse distincte.Nu am idee momentan daca exista ,dar aici e dificultatea.
0 0
Deci ar fi imposibil să existe două permutări ale cifrelor care să dea același produs, fără ca ele să fie simple permutări ale numerelor de cîte trei cifre? Asta e o afirmație interesantă, dar la prima vedere nu găsesc o demonstrație. Ați trecut prea repede pentru mine prin partea cu factorizarea diferită și nu m-am prins.
0 0
@AdiJapan

Ce ați făcut dumneavoastră este bine, corect și elegant, după părerea mea.

În urma eliminării combinațiilor de trei numere din trei cifre diferite, care înmulțite dau același produs prin comutativitate, rămân combinațiile de trei numere care respectă datele problemei, dar care înmulțite dau și un rezultat diferit.

Pentru că oricare două combinații de trei numere din trei cifre diferite am alege din combinațiile rămase, una din combinații are față de cealaltă cel puțin un număr diferit format din trei cifre diferite.

Altfel, este cazul aceluiași produs prin permutarea numerelor.

Dar le-ați eliminat, iar asta înseamnă că cele două combinații de trei numere dintre cele care rămân și despre care vorbim acum, determină produse diferite prin înmulțirea celor trei numere deoarece au cel puțin un număr diferit în produsul lor, deci sunt numere diferite și au o factorizare diferită.

Răspunsul este exact acela pe care l-ați dat dumneavoastră.

Dacă nu greșesc cu ceva.
0 0

Deci ar fi imposibil să existe două permutări ale cifrelor care să dea același produs, fără ca ele să fie simple permutări ale numerelor de cîte trei cifre?

Sau altfel spus, ca și răspuns la ceea ce am citat din ce-ați spus, 

123\cdot 456\cdot 789\neq 123\cdot 456\cdot 798

tocmai pentru că 789 și 798 au factorizare diferită.

Ceea ce înseamnă că din 9! , după eliminarea combinațiilor de trei numere care înmulțite dau același rezultat prin permutarea numerelor, toate combinațiile care rămân vor obține prin înmulțirea celor trei numere ale fiecărei combinație rezultate diferite.

0 0
Exemplul pe care îl dați este evident, pentru că are doar două cifre inversate. Și oricum este doar un exemplu. Pentru a face demonstrația pe bază de exemple ar trebui să luați toate permutările posibile. De ce sînteți așa sigur că dacă permutăm mai multe cifre nu se poate să cădem peste două rezultate egale?

Eu nu zic că e posibil, dar mă miră siguranța cu care îmi spuneți că e imposibil.
0 0

Hadeți să vedem dacă mă înșel.

Fie  \overline{a_{1}a_{2}a_{3}}  ,  \overline{a_{4}a_{5}a_{6}}  și  \overline{a_{7}a_{8}a_{9}}   

și  \overline{b_{1}b_{2}b_{3}} , \overline{b_{4}b_{5}b_{6}} și \overline{b_{7}b_{8}b_{9}} 

două combinații de trei numere, fiecare număr din fiecare combinație format din trei cifre distincte, astfel încât una din combinații nu este obținută prin permutarea numerelor celeilalte.

Această concluzie este suficientă și necesară ca să rezulte că există cel puțin un număr diferit, într-una din combinații față de cealaltă combinație, indiferent cum sunt aranjate cifrele în fiecare număr din fiecare combinație.

Altfel, una din aceste două combinații este de fapt o permutare  a numerelor celeilalte.

Cum orice număr are o factorizare unică, înseamnă că două numere diferite au factorizări diferite, iar aceasta înseamnă că dacă înmulțim toate cele trei numere ale fiecărei combinații vom obține două numere care au o factorizare diferită, de unde rezultă că cele două produse vor fi diferite.

Așa cum ați procedat dumneavoastră, după ce ați eliminat numărul de astfel de combinații de trei numere obținute prin permutarea numerelor, înseamnă că oricare două combinații diferite am alege după această eliminare, acestea nu vor mai fi două combinații obținute prin permutarea numerelor uneia dintre ele.

Aplicând raționamentul de mai sus rezultă că în urma eliminărilor respective, toate combinațiile care rămân vor obține prin înmulțirea numerelor sale rezultate diferite.

Desigur, sper să nu mă înșel sau să-mi scape vreun aspect din vedere și să nu-l iau în calcul, însă eu zic că este suficient să rezulte că se vor obține produse distincte.

0 0
Nu vă pot urmări raționamentul. E peste puterea mea de înțelegere, ceea ce îmi dă impresia că săriți peste etape. Pentru mine factorizare înseamnă descompunere în factori primi, nu în factori oarecare. Or cele trei numere din care se compun produsele noastre nu sînt neapărat prime. Pînă la proba contrară, ar fi posibil ca factorii primi în care se descompune produsul celor trei numere să fie grupați altfel în trei numere de cîte trei cifre și în plus cifrele să nu se repete.

Din păcate nici eu nu pot demonstra că există astfel de situații. Tot ce spun este că nu le putem exclude a priori, fără demonstrație.
0 0
Nu este peste puterea dumneavostră de a înțelege, am eu o exprimare greoaie și nu știu cum să mă exprim altfel.

O să încerc altfel și poate găsiți dumneavoastră demonstrația care conține exprimarea clară.

După ce ați eliminat acele combinații de trei numere prin care înmulțirea numerelor dau același rezultat prin comutativitate, rămân anumite combinații de trei numere.

Să lucrăm cu câteva exemple.

O asemenea combinație de trei numere, dintre cele rămase după eliminarea respectivă trebuie să fie formată și de numerele 123, 456, 789.

Să considerăm acum oricare altă combinație dintre cele rămase.

Aceasta va conține cel puțin un număr care va fi diferit de 123, sau diferit de 456, sau diferit de 789.

Altfel, dacă aceea combinație va fi spre exemplu 456, 123, 789, în această ordine, această combinație este o permutare a numerelor din combinația inițială și va fi una din combinațiile pe care le-ați eliminat deja.

Dacă într-una din cele două combinații există un număr care nu se găsește în cealaltă combinație, înseamnă că înmulțirea numerelor dintr-o combinație va da un rezultat diferit de înmulțirea numerelor din cealaltă combinație, tocmai pentru că într-unul din produse apare ca factor acel număr diferit.

Fiind diferit, factorizarea acelui număr este diferită, dar asta nu înseamnă neapărat că factorizarea lui conține numere prime diferite, ci poate conține aceleași numere prime în factorizare, dar la putere diferită.

În continuare, analizând oricare două asemenea combinații dintre cele rămase, ajungem la concluzia că nu putem obține aceeași valoare prin înmulțirea numerelor din două asemenea combinații diferite rămase în urma eliminării pe care ați făcut-o dumneavoastră.

Pentru că analizând două câte două, se obțin întotdeauna produse diferite.

Nu-mi vine în minte acum un alt mod de a vă explica mai clar cum gândesc, însă rezultatul la care ați ajuns este cel corect și este numărul maxim de produse diferite care se pot obține prin condițiile problemei.

Puteți totuși să ridicați vreo întrebare vis-a-vis de ce am spus acum și poate îmi vine altă idee de a vă explica.

Asta dacă nu cumva mă înșel.
0 0
De fapt nu, mă înșel.

Am înțeles mai bine ce vreți dumneavoastră să spuneți.

Stabilirea numărului de produse distincte este mult mai complicat decât am intuit eu inițial.

Zec are dreptate, aici este dificultatea.

Da, acum mă mir și eu de ce mi se părea așa simplu.
1 0

Am găsit un contraargument.

Dacă raționamentul dumneavoastră ar fi corect, atunci ar trebui, de exemplu, ca produsul 12*63 să fie diferit de 21*36, pentru că factorii sînt diferiți. Dar produsul de fapt e același în ambele cazuri, și anume 756, pentru că factorii primi sînt aceiași, dar ei sînt distribuiți diferit în numerele pe care le înmulțim.

0 0
Exact domnule Adi.

Acesta este aspectul pe care nu l-am luat în calcul și care face foarte dificilă demonstrația problemei despre care vorbim.

M-am tot gândit aseară cum se poate demonstra, dar aceasta pare să fie o problemă de o complexitate foarte ridicată și are ceva asemănător și cu conjectura abc.

Prin calcul putem verifica dacă există un asemenea rezultat identic, calculând factorizarea a 7*8*9 numere formate din 3 cifre distincte și verificând care dintre ele, luate câte trei, respectă criteriul pe care l-ați prezentat dumneavoastră, dar o demonstrație pur matematică pare să fie destul de complicată.
0 0
Dar de ce pui semnul inmultirii intre ele odata ce au fost taiate in numere de cate 3 cifre?
0 0

Probabil că întrebarea este adresată lui AdiJapan, dar sper să îmi permit să vă răspund (și) eu.

Întrebarea principală formulată de doamna Gheorghița este :

 Cîte produse distincte se pot forma cu 3 numere de forma dată?

Acele trei numere sunt trei numere de trei cifre fiecare în care sunt conținute toate cifrele de la 1 la 9. Evident, dacă în cele trei numere apare de două ori o cifră, nu toate cifrele de la 1 la 9 vor fi conținute în cele trei numere.

AdiJapan, a scris toate numerele de 9 cifre, care pot fi obținute prin permutarea cifrelor de la 1 la 9.

Prin tăierea acestor șiruri în 3, se obțin trei numere de câte trei cifre fiecare, în care apar toate cifrele de la 1 la 9 în toate cele trei numere.

Întrebarea cere produsul acestor trei numere motiv pentru care punem semnul înmulțirii între aceste tăieturi.

@AdiJapan

Vis-a-vis de conjectura abc, ca și idee de demonstrare a faptului că aceste produse pot sau nu avea rezultate identice, eu m-am gândit să stabilim o relație între suma acestor trei numere și produsul lor.

Am făcut eu ceva calcule, dar nimic evident până acum.

Voi aveți vreo altă idee despre cum ar putea fi construită o asemenea demonstrație ?

0 0
@Camelia Cornea: Pun semnul înmulțirii pentru că asta îmi cere problema. Nu e o operație propriu-zisă, că doar nu mă apuc să fac lista de mînă (iar dacă o fac cu calculatorul lucrez cu numere, nu cu șiruri de caractere). Exprimarea aceea doar m-a ajutat la explicație.

@CiprianM: Cea mai simplă demonstrație la care mă pot gîndi e să fac un program care să verifice prin calcul efectiv unicitatea tuturor produselor rămase după ce țin cont de comutativitate. N-ar fi foarte greu, dar am alte lucruri mai interesante de făcut.
...