Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

1 plus 0 minusuri
449 vizualizari
  1. Cum descoperiţi numerele n – întregi care rezolvă : n•2n + 1 este divizibil cu 3 ?
Senior (5.0k puncte) in categoria Matematica

3 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Mai inatai, facem un “experiment”. Dam valori lui n si vedem ce se intampla.

Vedem ca avem norocul incepatorului, merge si pentru n=1 si n=2. Apoi santem mai putin norocosi pentru o vreme (adica valori ale lui n). Pana la urma observam ca expresia e divizibila cu 3 pentru

1,2

7,8

13,14

19,20

etc.

Interesant, perechi de genul 6k+1 si 6k+2, pentru k=0,1,2,3,….. Propunem "teoria" ca expresia e divizibila cu 3 pentru numere egale cu 1 sau 2, modulo 6 (sau de forma 6k+1 sau 6k+2).

Acum trebuie sa demonstram ca asa ar fi (e totusi matematica, nu fizica :))

Cazul n=6k+1

Expresia devine

(6k+1) 2(6k+1) +1=6k*2(6k+1) +2(6k+1)+1

Primul din cei trei termini e divizibil cu 3 pentru ca are acel 6 in fata.

Ultimii doi se pot scrie ca

2(6k+1)+1(6k+1)=(2+1)*(……) = M3

unde in paranteza e o suma de termini intregi si “M3” inseamna multiplu al lui 3.

Deci si suma ultimilor doi termini e divizibila cu 3.

Cazul n=6k+2

Expresia devine

(6k+2) 2(6k+2) +1=6k*2(6k+2) +2*2(6k+2)+1

Primul din cei trei termini e din nou divizibil cu 3 pentru ca are acel 6 in fata.

Ultimii doi se pot scrie ca

2(6k+3)+1(6k+3)=(2+1)*(……)

Deci si suma ultimilor doi termini e divizibila cu 3 si din nou expresia originala e deci divizibila cu 3.

Pentru celelalte cazuri trebuie sa aratam ca “nu merge”.  Ar fi n=6k, n=6k+3, n=6k+4 si n=6k+5

n=6k

6k 26k +1=M3+1

Cum multiplii lui 3 sant la interval de 3 unitati, expresia de mai sus nu e divizibila cu 3.

n=6k+3

(6k+3) 2(6k+3) +1=6k*2(6k+3) +3*2(6k+3)+1=3(2*k*2(6k+3) +2(6k+3))+1

Deci din nou avem un multiplu al lui 3 plus 1.

n=6k+4

(6k+4) 2(6k+4) +1=6k*2(6k+4) +4*2(6k+4)+1= 6k*2(6k+4) +8*2(6k+3)+1=6k*2(6k+4) +8(2(6k+3)+1)-7=6k*2(6k+4) +8*3(….)-7= 3[2k*2(6k+4) +8(….)]-7

Adica un multiplu de 3 minus 7 – nu este multiplu de 3.

n=6k+5

(6k+5) 2(6k+5) +1=6k*2(6k+5) +5*2(6k+5)+1= 6k*2(6k+5) +20*2(6k+3)+1=6k*2(6k+4) +20[2(6k+3)+1]-19=6k*2(6k+5) +20*3(….)-19= 3[2k*2(6k+5) +20(….)]-19=M3-19

Deci se pare ca ipoteza initiala e corecta, Numai numerele de forma 6k+1 si 6k+2 satisfac conditia.

Ar fi interesant ca altcineva sa demonstreze asta mai direct. Si de unde vine relevanta lui modulo 6 (si alt numar).

Junior (872 puncte)
0 0
Foarte frumos. Ştiu de ce v-aţi implicat. Mulţumesc pentru tot.
1 0

Ar fi interesant ca altcineva sa demonstreze asta mai direct. Si de unde vine relevanta lui modulo 6 (si alt numar).

Răspunsul tău, mircea_p, este foarte bun, ușor de urmărit și înțeles.

Putem analiza și așa.

n*2n+1 = 2n + 2n(n-1) + 1 =(2n+1) + 2n(n-1)

Fie n=2q+1, adică un număr impar, iar aceasta înseamnă că (2n+1) este divizibil cu 2+1=3.

Ca suma (2n+1) + 2n(n-1) să fie divizibilă cu 3, pentru n impar (2n+1) este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că 2n(n-1) trebuie să fie divizibil cu 3.

2n nu este divizibil cu 3, deci (n-1) trebuie să fie divizibil cu 3.

Dacă n=2q+1 atunci (2q+1)-1=2q trebuie să fie divizibil cu 3, de unde rezultă că q trebuie să fie divizibil cu 3.

Fie q=3k, atunci n este egal cu n=2q+1 = 2*(3k)+1 = 6k+1.

Deci, dacă n*2n+1 este divizibil cu 3, iar n este impar, atunci n este de forma 6k+1.

În mod asemănător se poate arăta că dacă n*2^n+1 este divizibil cu 3, iar n este par, n va trebui să fie de forma 6k+2.

n*2n+1 = 2n -1 + 2n(n-1) +2  

Dacă n=2q, înlocuim și obținem

 n*2n+1 = 22q -1 + 22q(2q-1) +2 = (4q -1) + 2*[22q-1( 2q-1)+1]

(4q -1) este divizibil cu 3, deci 2*[22q-1( 2q-1)+1] trebuie să fie divizibil cu 3.

2 nu este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că 3 trebuie să apară în factorizarea lui 22q-1( 2q-1)+1 .

22q-1( 2q-1)+1 = 22q-1  + 22q-1( 2q-2)  + 1 = (22q-1 +1) + 22q( q-1)

(22q-1 +1)  este divizibil cu 2+1=3 , iar pentru ca toată expresia să fie divizibilă cu 3 înseamnă că 22q( k-1) trebuie să fie divizibil cu 3.

22q nu se divide cu 3 și înseamnă că k-1 trebuie să fie divizibil cu 3, de unde rezultă că q trebuie să fie de forma 3k+1.

Pentru că n=2q, iar q=3k+1, înseamnă că n=6k+2.

Înconcluzie, dacă n este par, iar n*2n+1 se divide cu 3, n este un număr de forma 6k+2.

Dar răspunsul tău este mult mai cuprinzător și ușor de înțeles.

Eu doar am arătat cum rezultă mai direct relevanța lui modulo 6.

0 plusuri 0 minusuri

Ai o altă soluție mai jos, ca și comentariu/răspuns la întrebarea lui mircea_p :

Ar fi interesant ca altcineva sa demonstreze asta mai direct. Si de unde vine relevanta lui modulo 6

Junior (584 puncte)
3 plusuri 0 minusuri

De fapt, soluția și mai simplă este următoarea.

n•2n + 1 divizibil cu 3.

Să scriem asta sub forma n•2n + 1 = 3m.

Sunt două situații în numere naturale, n par, n impar.

Cazul 1.

n este impar, îl scriem sub forma n=2q+1, înlocuim și obținem 

(2q+1)•22q+1 + 1 = 3m

2q•22q+1 + (22q+1 + 1)=3m.

q•22q+2 + (2+1){22q  22q-1 + 22q-2  22q-3 +...-21  +1 =3m

Cu excepția lui  q•22q+2 toți ceilalți termenii sunt divizibili cu 3, de unde rezultă că q•22q+2  trebuie să fie divizibil cu 3.

22q+2  nu este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că q trebuie să fie divizibil cu 3.

Fie q=3k, de unde rezultă că n = 2q+1 = 2•3k +1 = 6k+1.

Deci pentru n impar, n•2n + 1 = 3m , n este de forma 6k+1.

Cazul 2.

n este par, îl scriem sub forma n=2q, înlocuim și obținem 

2q•22q + 1 = 3m

q•22q+1 + 1 = 3m

(q-1)•22q+1 + (22q+1 + 1)=3m

Este arătat mai sus că (22q+1 + 1) este divizibil cu 2+1=3, 

de unde rezultă că (q-1)•22q+1  trebuie să fie divizibil cu 3.

22q+1  nu este divizibil cu 3, deci (q-1) trebuie să fie divizibil cu 3, 

iar asta înseamnă că q este de forma 3k+1.

Atunci n = 2q = 2•(3k+1) = 6k+2.

În concluzie, dacă n este par și n•2n + 1 = 3m , atunci n este de forma 6k+2.

Junior (584 puncte)
...