Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

0 plusuri 0 minusuri
311 vizualizari

Cum se rezolvă ecuaţia: 3•2x + 1 = y2 ; (x, y) € Z  ?

Senior (5.0k puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Uite o altă soluție .

În ecuația ta aduni 1 în fiecare membru și obții 32x+2=y+1 de unde ajungi la 2(32x-1+1) = y+1.

În stânga ai un număr par ceea ce înseamnă că y trebuie să fie impar.

Fie y=2q+1, înlocuiești în ultima relație și ajungi la

2(32x-1+1) = (2q+1)+1 = 4q+4q +2

Simplifici ecuația cu 2 și ajungi la

32x-1 +1  = 2q+2q +1

Elimini 1 din fiecare membru, mai simplifici ulterior încă odată cu 2 și ajungi la

32x-2   = q(q+1)

q și q+1 sunt prime între ele, iar asta înseamnă că ai două cazuri.

1. q=3 și q+1=2x-2  

2. q=2x-2 și q+1 =3

Analizând ambele situații obții pentru 1 că x=4 și pentru 2 că x=3.

Înlocuind în ecuația ta inițială obții că

1. 32+1=49, iar y=7

2. 323 +1=25, iar y=5.

Analizat doar în N, ecuația ta are doar două soluții naturale pentru y și două pentru x.

Junior (584 puncte)
1 plus 0 minusuri

Cred că am o soluție.


În primul rând, e de observat că termenul din dreapta este un întreg pozitiv, de unde rezultă că x trebuie să fie nul sau pozitiv.


Dacă rescriem ecuația sub forma 3•2x = y2 - 1 = (y-1)(y+1), observăm că în stânga avem un produs al lui 3 cu o putere a lui 2, iar în dreapta un produs de două numere întregi a căror diferență este egală cu 2.


Mai e de observat că 2 și 3 sunt numere prime, deci orice descompunere în 2 factori a termenului din stânga al ecuației astfel rescrise va conține întotdeauna ca factor un număr din seria 3, 6, 12, 24, 48... etc, deci 3 deînmulțit cu o puterea a lui 2 (3•2a).


Întrebarea care se pune este de la ce putere ”a” a lui 2 încolo un număr de forma 3•2a nu mai poate avea doar o diferență de +2 sau -2 față de un număr de forma 2b (unde a+b=x, dar asta nu contează în logica răspunsului).


Cum 3•2a poate fi scris 2•2a + 2a, se deduce destul de simplu că atunci când a >= 2, factorul 3•2fiind la jumătatea distanței dintre 2a+1 și 2a+2, el nu mai poate fi cu doar 2 unități mai mic sau mai mare decât o putere a lui 2.


Am ajuns deci la concluzia că termenul din stânga al ecuației rescrise trebuie să fie neapărat descompus astfel încât unul dintre factorii săi să fie 3 sau 6 (a=0 sau a=1).


Cu această restricție și folosindu-ne de faptul că în dreapta avem produs de două numere întregi și de același semn a căror diferență este fix 2, ajungem la singurele soluții posibile:


x=0,|y|=2;
x=3,|y|=5;
x=4,|y|=7.

Senior (8.1k puncte)
...