Număr maxim de unghiuri ascuțite

Question

Care este numărul maxim de unghiuri ascuțite pe care le poate avea un poligon convex?

Answer 1

1. Fie un poligon convex oarecare cu n unghiuri.

Notăm unghiurile cu a_i. Știm că sum(a_i) = pi(n - 2)  de unde calculăm mărimea medie a unghiurilor a_m = pi(n-2)/n. Punem condiția ca această valoare medie să fie mai mică decât pi/2, ceea ce înseamnă că un număr oarecare de unghiuri sunt mai mici decît pi/2 și vedem ce restricție rezultă pentru n.

pi(n - 2)/n < pi/2 => n < 4. Rezultă că poligonul poate avea maximum 3 unghiuri ascuțite.

2.O altă soluție, mai geometrică decât prima:

 Unghiul exterior unui unghi al unui poligon convex este, prin definiție, unghiul format de o latură a unghiului interior cu prelungirea laturii adiacente. Dacă unghiul interior are valoarea a_i, atunci unghiul exterior corespunzător are valoarea a_e = pi - a_i unde e = i.

Sum(a_e) = n*pi - sum(a_i) = n*pi - pi(n - 2) = 2*pi = constant. Din definiție rezultă și că oricărui unghi interior ascuțit îi corespunde un unghi exterior obtuz. Asta înseamnă că la 4 unghiuri interioare ascuțite ar corespunde 4 unghiuri exterioare obtuze a căror sumă ar fi, evident, mai mare decăt 2*pi, ceea ce e imposibil.

Deci poligonul poate avea un număr maxim de 3 unghiuri ascuțite. 

Comments

Cred că aproape nimeni nu şi-a dat seama de frumuseţea acestei probleme. Poate este prea simplă. Vă felicit.

Answer 2

3 (trei unghiuri ascutite), corespunzand triunghiului.

La mai mult de 3 (trei), la 4 unghiuri avem deja unghiuri drepte (patratul), iar de la 5 unghiuri (pentagon), 6 unghiuri (hexagon), s.a.m.d. avem unghiuri obtuze, caci si suma masurii unghiurilor creste peste 360⁰; aceasta fiind: (n-2)*180⁰, unde n = nr. laturilor poligonului convex.

Comments

Nu am prea înţeles răspunsul dat. Numărul oferit este în grade.