Eliminarea unei cifre

Question

Care sînt numerele întregi care dețin însușirea: dacă se șterge ultima lor cifră, numărul inițial este divizibil cu cel obținut prin ștergerea cifrei?

Answer 1

Fie b o bază de numerație. Orice număr întreg se poate scrie ca o expresie polinomială de ordinul n:

n = a_nbⁿ + a_n-1b^n-1 +...+ a₁b + a₀,  cu a_n diferit de 0,

unde a_i sunt coeficienți întregi (toți pozitivi sau toți negativi în funcție de semnul lui n) ai puterilor bazei. Dacă ștergem cifra unităților, a_0, noul număr scade cu un ordin de mărime și devine

n₁ = a_nb^n-1 + a_n-1b^n-2 +...+ a₂b + a₁.

Împârțind cele două polinoame folosind algoritmul euclidian cunoscut obținem

n/n₁ = b rest a₀  =>  n₁ l n  <=>  a₀ = 0.

Deci, în orice bază de numerație, numerele căutate sunt numerele întregi care au cifra unităților egală cu zero.

Concluzia aceasta se vede la prima examinare a ipotezei, interesant e că nu mai sunt și alte numere cu această proprietate.

Edit:

Observația corectă a lui mircea_p impune următoarea completare: 

Dacă n = a₁b + a₀ atunci n₁ = a₁ iar n₁ l n  și in cazul în care a₁ l a₀.

În baza 10 soluția se completează cu numerele din două cifre care au această proprietate, în afara de cele cu cifra unităților zero, respectiv

11, 12,..., 19, 22, 24, 26, 28, 33, 36, 39, 44, 48, 55, 66, 77, 88 și 99.

Comments

Dar 22,24,26,28, spre a lua doar un exemplu?

Daca sterg ultima cifra a lui 24 obtin 2. 24 se divide cu 2, nu?

Deci numar initial: 24;

Numar obtinut prin stergerea ultimei cifre: 2

Poate am inteles gresit problema?

---

Da. Justă observația. Trebuia să tratez separat cazul particular în care n are 2 cifre și a₁ divide a₀. Și dacă nu cumva există o situație de recurență în care a₂ divide a_{1 și} a₁ divide a₀ astfel încât să meargă și pentru 3 cifre, deși nu prea văd cum.

 Trebuie regândită, mulțumesc pentru comentariu.

Edit:

Știu unde e buba. M-am grăbit să generalizez și n-am observat că pentru un grad mai mic ca 2 al lui n  împărțirea e de fapt a unui polinom la o constantă.

Answer 2

Hai să vedem dacă soluția mea este bună. 

Să scriem numărul inițial sub forma (a₁a₂a₃a₄...a_n ), unde a₁ , a₂ ​, a₃ ​,..., a_n​ , sunt cifrele numărului de la stânga la dreapta.

Din ceea ce cere întrebarea ta înseamnă că trebuie să avem o egalitate de forma 

(a₁a₂a₃a₄...a_n ) = k•(a₁a₂a₃a₄...a_n-1 )

unde (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) este reprezentarea cifrelor numărului de la stânga la dreapta prin eliminarea ultimei cifre  a_n​ .

Așa cum a remarcat Puiu, soluția trivială este a_n = 0 , iar k=10 .

Analizând altfel, putem stabili că și diferența  

(a₁a₂a₃a₄...a_n ) - (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) trebuie să fie divizibilă cu (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) pentru că avem

(a₁a₂a₃a₄...a_n ) - (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) = (k-1)•(a₁a₂a₃a₄...a_n-1 )

Să scriem cele două numere sub forma

(a₁a₂a₃a₄...a_n ) = a₁•10^n-1 + a₂•10^n-2 +...+ a_n-1•10¹ + a_n 

(a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) = a₁•10^n-2 + a₂•10^n-3 +...+ a_n-2•10¹ + a_n-1 

Dacă facem diferența lor , (a₁a₂a₃a₄...a_n ) - (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) , obținem 

9•{a₁•10^n-2 + a₂•10^n-3 +...+ a_n-2•10¹ + a_n-1 } + a_n 

diferență care trebuie să fie divizibilă cu (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) .

Observăm că între acolade este exact numărul (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) de unde rezultă că a_n trebuie să fie divizibil cu (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 )  pentru ca toată expresia să fie divizibilă cu (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) .

Evident, a_n este un număr format dintr-o singură cifră, în timp ce (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) are n-1 cifre și desigur, în acest caz nu putem vorbi de faptul că a_n se divide cu (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) dacă n-1 este mai mare ca 2.

Deci, doar în cazul trivial când  (a₁a₂a₃a₄...a_n ) este divizibil cu 10, numărul (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) , obținut prin eliminarea ultimei cifre a_n , poate conține oricât de multe cifre.

Dacă (a₁a₂a₃a₄...a_n ) nu este divizibil cu 10, atunci n=2, iar numărul inițial este de fapt doar (a₁a₂) și acesta se divizide cu a₁ doar dacă a₂ se divide  cu a₁ .

Exemplele sunt cele pe care le-a menționat Puiu în explicația sa.

Answer 3

De fapt, cred că soluția cea mai simplă este următoarea.

Fie numărul inițial (a₁a₂a₃a₄...a_n ), unde a₁ , a₂ ​, a₃ ​,..., a_n​ , sunt cele n cifrele ale numărului, de la stânga la dreapta.

Acesta poate fi scris 

(a₁a₂a₃a₄...a_n ) = 10•(a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) + a_n 

Avem cazul trivial cu a_n  = 0 , când numărul poate conține oricât de multe n cifre.

Dacă (a₁a₂a₃a₄...a_n ) este divizibil cu (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) , atunci a_n trebuie să fie divizibil cu (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) , de unde rezultă că numărul (a₁a₂a₃a₄...a_n-1 ) nu poate avea mai mult de o cifră, atât timp cât a_n este un număr format dintr-o singură cifră.

Deci numărul inițial este doar (a₁a₂) și avem 10•a₁ +a₂ = (a₁a₂).

Dacă (a₁a₂) este divizibil cu a₁ , rezultă că a₂ trebuie să fie divizibil cu a_{1 ,} iar exemplele sunt cele menționate mai sus de Puiu în postarea sa.

Comments

Felicitări.