Problema se poate rezolva complicat prin insumarea ariilor triunghiurilor formate de P cu A,B,C si apoi egalarea cu aria triunghiului echilateral, dar nu chiar simplu, implica multe calcule. pentru simplificare notam PA=p,PC=q,PB=r si unghiurile PAC=a,PCB=c,PBA=b, laturile triunghiului =l
Atunci vom avea
lpcosa+lqcosc+lrcosb=l2√3/ 4
Ramane sa gasim cosa,cosc,cosb in functie de l,p,q,r
q2=p2+l2-2plcosa
r2=p2+l2-2plcos(60-a)=p2+l2-2pl(1/2cosa+√3/ 2sina), il eliminam pe cosa si obtinem sina, apoi cosa=√1-(sina)2, in functie de l,p,q,r.Se calculeaza similar cosc, cosb. Introducandu-le in egalitatea initiala, cum p,q,r sunt cunoscute, rezulta o ecuatie complicata in l , dar care se presupune ca se poate rezolva. Cred...
Mai simpla ar fi o constructie geometrica. Daca construim simetricele lui P fata de laturile triunghiului si le notam P1,P2,P3 , obtinem un poligon AP1BP3CP2, care are aria dubla fata de triunghiul ABC. Ca sa calculam aria AP1BP3CP2 putem calcula ariile triunghiurilor isoscele P1AP2, cu laturile egale p ( triunghiurile PAP1 si PAP2 sunt isoscele ,cu laturile egale p din constructie) si unghiul din A de 120( pentru ca este = 2a+2(60-a) din constructie) , P1BP3, cu laturile egale r si unghiul din B de 120, si P3CP2, cu laturile egale q si unghiul din C de 120, apoi aria triunghiului P1P2P3 cu formula lui Heron ,( multumesc zec) pentru ca ii cunoastem laturile, P1P2=p√3 ( calculata din triunghiul P1AP2) ,similar P2P3=q√3 si P3P1=r√3. Aria ABC va fi jumatate din aria AP1BP3CP2, care este exprimata in functie de p,q,r, si egala cu l2√3/ 4. Si asa il vom putea avea pe l in functie de p,q,r. Asta daca nu m-am incurcat din nou...
Oricum, aceste variante imi par complicate, n-am avut puterea sa le finalizez asa ca nu stiu daca nu cumva sunt din nou gresite. Probabil exista o solutie simpla, o astept.