Mă uit deocamdată doar la semiplanul limitat de BD care conține punctul C. Pentru punctele din acest semiplan proprietatea cerută de enunț se rescrie astfel:
BG + DG = AG × sqrt(2),
Caut toate punctele din semiplan care respectă condiția asta. În plus, pentru fiecare din ele, punctul simetric față de BD va fi și el soluție a problemei.
Definesc mărimile:
z1 = BG + DG
z2 = AG × sqrt(2).
Sînt soluții acele puncte G pentru care z1 = z2.
Acum calculez z1 și z2 pentru toate punctele din plan. Poziția oricărui punct din semiplan poate fi descrisă în coordonate polare față de O (centrul pătratului) și direcția OC. Mai exact fiecare punct G din plan e total determinat dacă știm distanța OG, pe care o notez cu r, și unghiul COG, pe care îl notez cu a.
Cu aceste notații, aplic teorema lui Pitagora generalizată și calculez lungimile segmentelor BG, DG și AG. Din ele calculez mărimile z1 și z2, care ies sub forma unor radicali urîți, nu-i mai scriu aici. Condiția z1 = z2 este echivalentă cu z1^2 = z2^2 (pentru că z1 și z2 sînt amîndoi pozitivi). Atunci calculez pătratele, care ies așa:
z1^2 = 1 + 2*r^2 + 2*sqrt((1/2+r^2)^2 - 2*r^2*sin(a)^2)
z2^2 = 1 + 2*r^2 + 2*sqrt(2)*r*cos(a)
Îi egalez și iese o ecuație tot cu radicali, așa că mai ridic o dată la pătrat. Iese așa:
z1^4 = z2^4 <=> (1/2+r^2)^2 - 2*r^2*sin(a)^2 = 2*r^2*cos(a)^2
În clipa asta unghiul a iese din joc, pentru că se formează un sin^2+cos^2, ceea ce înseamnă că soluția pe care o voi găsi pentru r este valabilă la toate unghiurile a din semiplan. Mergem mai departe cu ecuația rămasă, care arată așa:
(1/2 + r^2)^2 = 2*r^2
O rezolv și iese o singură soluție: r = sqrt(2)/2.
Deci locul geometric căutat e cercul cu centrul în O și rază sqrt(2)/2, din care păstrăm doar bucata aflată în semiplanul nostru, un semicerc. Dar, cum ziceam la început, simetricele față de BD sînt și ele soluții, atunci rămîne ca întreg cercul să fie soluție.