Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
950 vizualizari

Iată o problemă frumoasă pusă de Bzn Radu într-un schimb de comentarii rămas probabil obscur. Merită scoasă la lumină.

Avem o panglică de formă dreptunghiulară, de lungime suficientă (sau infinită), de lățime d și de grosime neglijabilă. Pliem panglica după o secantă care face un unghi a nenul cu marginile panglicii. Zona de suprapunere are formă triunghiulară. Cît este aria minimă a zonei de suprapunere și la ce unghi a se obține acest minim?

Cerință suplimentară, de limba română: exprimați cît mai inteligibil și concis ce anume înseamnă „lungime suficientă” în contextul acestei probleme.

legata de un raspuns la: Dreptunghi (culmea, tot echiunghiular!)
Expert (12.9k puncte) in categoria Matematica
2 0
Mai bine "lungime infinită", dar mi-era frică să nu se sperie profanii...

1 Raspuns

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Desenul meu arată astfel:

Banda e orizontală cu un capăt în stânga paginii iar marginile panglicii se prelungesc spre dreapta indefinit. Colțul de sus al capătului îl notez cu D. Duc o secantă aplecată spre dreapta, care face cu marginea de jos un unghi cam de 300  (unghiul a din ipoteză). Notez intersecția ei cu marginea de jos cu A și intersecția cu cea de sus cu B. Pliez colțul D în jurul secantei, ceea ce înseamnă că fiecărui punct pornind din  B spre D îi desenez simetricul față de secantă, până cănd linia punctelor de simetrie intersectează marginea inferioară a panglicii în punctul C. Triunghiul de suprapunere este ABC. 

 

Soluția 1. unghiul a = unghiul DBA ca alterne interne iar unghiul DBA = unghiul ABC din construcție, AB fiind bisectoare a unghiului DBC.

Rezultă triunghiul ABC isoscel cu vârful în C, deci segmentele AC și CB sunt egale. Luînd ca bază a triunghiului ABC segmentul AC = b, aria acesuia este egală cu b*d/2. Aria minimă este egală cu valoarea corespunzătoare lungimii minime a lui b, adică cea corespunzătoare lungimii minime a segmentului BC. Dar lungimea minimă a lui BC este BC=d, situație în care triunghiul ABC devine isoscel dreptunghic deci

a = 45o iar aria triunghiului ABC devine  d2/2. Această soluție îmi place pentru că nu presupune calcule.

 

Soluția 2.

Exprimăm aria triunghiului ABC cunoscând două laturi și unghiul dintre ele, adică aria =(1/2)* b2sin(Pi-2*a) apoi în funcție de bază și înălțime, adică aria=b*d/2. Egalând cele două expresii obținem b = d/sin(Pi-2a). Baza b are deci un minim pentru sin(Pi-2a)=1, deci a = Pi/4.

Relativ la desenul meu, condiția ca banda să fie suficient de lungă înseamnă ca prin pliere D să cadă în afara panglicii oricare ar fi înclinația secantei.

Senior (6.6k puncte)
0 0
Mulțumesc pentru răspuns.

La soluția 1 vorbiți despre lungimea minimă a lui AB, iar aceasta e într-adevăr egală cu lățimea panglicii, dar situația se obține dacă unghiul a este 90°, nu la a = 45°. Cred că ați vrut să spuneți BC în loc de AB. Rezultatul a ieșit bine, deci probabil e doar o problemă de formulare.

Din soluția 2 lipsește valoarea ariei minime, dar odată știut unghiul nu e mare lucru s-o calculăm.

„prin pliere D să cadă în afara panglicii oricare ar fi înclinația secantei” --- Nu ajunge, pentru că vă mai rămîne să spuneți ceva și despre capătul din dreapta al panglicii, care trebuie și el să fie „suficient” de departe.
0 0

Mulțumesc pentru observația de la soluția 1. Era o greșeală de formulare și am editat răspunsul.

La soluția 2, cu a = 45o rezultă că triunghiul ABC e dreptunghic isoscel cu vârful în C de unde aria e  d2/2.

Capătul din dreapta trebuie să fie și el suficient de departe pentru ca, pe unghiul a ales, secanta să intersecteze ambele margini.

0 0

De ce n-ar putea avea secanta un unghi mai mare de 45 grade? In acest caz daca o ducem din marginea stanga panglicii datele problemei se schimba, avem o arie mai mica decat cea socotita si prin pliere punctul D cade in interiorul panglicii. Daca o ducem idintr-un punct orecare. atunci e valabila aria minima dar conditiile pentru lungimea necesara a panglicii se schimba, capatul din stanga  al panglicii trebuie sa iasa in exteriorul latimii si partea din dreapta sa fie mai lunga decat d-l, l fiind cealalta latura a dreptunghiului in care secanta e diagonala,

Cel putin asa cred acum!!!!smiley

 

0 0

Unghiul a poate fi și mai mare de 45o sau mai mare de 90o, dar datele problemei rămân aceleași, în sensul că triunghiul ABC rămâne isoscel cu vârful în C, iar raționamentele rămân neschimbate. Punctul D nu are voie să cadă în interiorul panglicii, asta ar însemna că panglica nu e suficient de lungă în stânga.

Dar am impresia că această subtilitate semantică a lui lungime suficientă devine mai importantă decât rezolvarea problemei.

0 0
Nu sînt mulțumit de răspunsul la cerința de limba română. Dar nu mai insist. Aș fi așteptat ceva de genul: „Panglica este suficient de lungă dacă după pliere capetele ei nu intersectează zona de suprapunere.” Sau: „Panglica e suficient de lungă dacă aria suprapunerii este aceeași ca în cazul unei panglici de lungime infinită.” Sau ceva similar. Cerința nu era de geometrie, ci de comunicare.
1 0

Ca să ne menținem în aria limbii române, am să formulez un răspuns în limbajul bunicii mele din Bărăgan: Pamblica trebe să hie lungă ca când o dai după băț să să petreacă dă tot. Unde nu s-ajunge o mai înnădești :-)

 

Lăsând gluma la o parte, afirmația că punctul D (D fiind un colț oarecare) trebuie să cadă în afara panglicii după pliere a fost o exprimare  stângace (D e pe panglică tot timpul) a ideii că după pliere capetele nu intersectează  aria de suprapunere. Dacă D e în afară, în mod evident și înălțimea care îi corespunde e în afară.

1 0
Aveti dreptate, in incercarea mea de rezolvare punctul D era unul din varfurile dreptunghiului care avea secanta ca diagonala si am rams blocata pe aceasta imagine . Abia acum am citit mai cu atentie poatarea d-voastra, scuze.
0 0
Oricum, eu ma complicasem, asa ca felicitari pentru solutiile simple si ingenioase.
0 0

Legat de condiția ca pamblica să hie destul de lungă, e și aici o problemă interesantă, de data asta de geometrie: dat fiind unghiul secantei a, care este lungimea minimă a panglicii dreptunghiulare pentru ca zona de suprapunere să nu fie trunchiată? N-am calculat încă, ci doar am constatat că rezolvarea trebuie făcută separat pentru cazurile a < 45° și a > 45°.

Între timp am calculat. Am luat separat cele două cazuri, dar, surprinzător, rezultatul e o formulă simplă valabilă pentru ambele cazuri.

0 0

Am calculat și eu pentru a<45o și am obținut că la un unghi dat lungimea minimă este 2d/sin(2a). Pentru a>45o nu am avut timp și nu am nici acum, dar dacă spuneți că dă la fel e și pentru mine o surpriză.

 

Și mai interesant mi se pare că, uitîndu-mă pe desen, formula obținută arată că lungimea minimă este dublul segmentului format de intersecția pliului cu marginea panglicii. Observați că d/sin(2a) = BC din desenul meu. E chiar remarcabil.

0 0

Am greșit. Am recalculat acum și sînt de fapt două formule diferite la stînga și la dreapta lui a = 45°, dar diferența dintre ele e dată de diferența dintre un unghi și complementul său față de 90°. Mai e un lucru interesant: minimul lungimii panglicii în funcție de a este într-adevăr la 45°, dar nu este un minim neted, în sensul că derivata funcției nu este zero. Curba e frîntă acolo, încît derivata nu e continuă. Și încă un lucru interesant: funcția e simetrică față de 45°.

Ceva nu e în regulă cu formula 2d/sin(2a). Pentru a = 45° ar trebui să iasă că lungimea minimă este d (panglica devine un pătrat), dar din formulă iese 2d. La unghiuri a < 45° lungimea minimă nu e 2*BC, ci AC plus proiecția lui BC pe latura panglicii.

Iată și formulele mele, unde L e lungimea minimă a dreptunghiului:

- pentru a<=45°, L = d / tg(a)

- pentru a>=45°, L = d / ctg(a)

0 0
Eu am greșit desenul. Ce am calculat eu nu era lungimea minimă. Am refăcut desenul și am obținut aceleași rezultate ca dumneavoastră.

Pentru primul caz rezultatul e imediat. În al doilea m-am încurcat puțin cu trigonometria dar în final am obținut tot L = d/ctg(a).

 

Șugubeață pamblică, loa-o-ar înțepeneala!
0 1
Ma ia durerea de cap si ma si  bufneste risul cind vad atitea farafasticuri in jurul unei intrebari: simpla, frumoasa - daca as fi avut timp puteam sa certific la notar faptul o va prelua AdiJapan - dar "umfata " de co-autor. De ce nu a asteptat sa o prezinte Bzn Radu?
$ Puiu: tiris-grapis ati gasit  o solutie. Superba ultima replica pe care ati dat-o. Felicitari mai ales pentru ea.
 Nu va mai lasati intimidat.
0 0
Eu am abordat  problema luand in considerare dreptunghiul ABCD a carui diagonala e secanta.  Pentru unghi mai mare de 45grade daca facem plierea ,de exemplu, dinspre B, si notam cu N intersectia dintre dreapta ce trece prin A si simetricul lui B pe secanta, cu marginea superioara a panglicii, atunci suprafata de pliere e triunghiul CAN , isoscel, avand unghiurile din A si C egale cu a, si laturile AN=NC.Lungimea minima este

L=AN+ND= NC+ND=d (ctg(a)+ctg(180-2a))+dctg(180-2a) =d(ctg(a)-2ctg(2a))=d(ctg(a)-2/2(ctga-tga))=dtg(a)=d/ctg(a).

AN lungimea minima necesara la dreapta lui A si ND la stanga lui A.

Pentru a mai mic sau egal cu 45 grade L este lungimea dreptunghiului si L=dctg(a),intr-adevar.
0 0

Cred că e undeva o problemă de comunicare. Poate nu înțelegem amîndoi același lucru prin unghiul a sau nu ne gîndim la același mod de pliere.

În orice caz, formula L = d/ctg(a) nu are cum să fie corectă. Se poate verifica simplu pentru un unghi arbitrar mai mic de 45°. De exemplu la a = 30° dreptunghiul de lungime minimă este acela în care secanta noastră este o diagonală, deci L = d / tg(a), adică circa 1,732*d. Pe măsură ce unghiul devine tot mai mic, aria zonei de suprapunere crește și tinde spre infinit cînd a se apropie de 0, în timp ce din formula L = d / ctg(a) ar reieși că aria zonei de suprapunere tinde spre 0, ceea ce e imposibil: aria minimă e d^2/2, valoare sub care nu poate scădea.

Nu înțeleg de ce vorbiți de „simetricul lui B pe secantă”. Punctul B se află pe secantă pentru că așa a fost definit. Iar zona de suprapunere este triunghiul ABC, nu altul. Cred că avem figuri diferite. Eu am preluat construcția și definițiile lui Puiu, pentru că el a fost primul (și singurul, deocamdată) care le-a expus în detaliu.

1 0
@AdiJapan  Calculele d-voastra sunt corecte,pentru a mai mic de 45 grade L=d/tg(a) intr-adevar si in situatia considerata de mine, fiind lungimea dreptunghiului care are secanta ca si diagonala.
1 0
Oare e gata discuţia? Transferând-o către fizică, mă întrebam cum ar depinde viteza cu care se modifică acea arie de viteza unghiulară a secantei (aceasta rotindu-se uniform în jurul unui punct fix aflat, deocamdata (!), pe o margine a panglicii). Asta doar în treacăt...
2 0
Aria suprapunerii este dată de formula A = d² / (2 * sin2a), valabilă de ambele părți ale unghiului a = 45° (ceea ce e un lucru interesant în sine). Formula am obținut-o simplu, muncitorește, separat pentru cele două cazuri, și abia la final am constatat că e aceeași.

Prin simplă derivare obținem și viteza de variație a ariei de suprapunere cînd unghiul secantei crește uniform:

dA/da = -d² * cos2a / sin²2a

Graficul arată astfel: la unghiuri foarte mici viteza e negativă și mare, pentru că aria scade rapid. Cînd a ajunge la 45° viteza devine zero, pentru că aria a terminat de scăzut, și-a atins minimul și urmează să crească. Mai departe viteza devine pozitivă și din ce în ce mai mare, și tinde spre infinit cînd unghiul tinde spre 90°.

Intervalul (0°, 90°) e suficient pentru a descrie toate situațiile posibile.

Nu are importanță unde luăm centrul de rotație, rezultatele sînt aceleași.
1 0
Frumos. Atat voiam sa zic, dar se cer minim 10 caractere! :)
...