Trebuie să arătăm că, oricare-ar fi n natural, există un m natural astfel încât
n <= m2 <= 2n.
Dar n <= m2 <= 2n <=> sqrt(n) <= m <= 2n (1), adică, oricare-ar fi n natural, există un număr întreg pozitiv m, astfel încât inegalitatea (1) să fie adevărată. Acest lucru e echivalent cu a afirma că f: N -> R, f(n)=sqrt(2n)-sqrt(n) >= 1. Obsrvăm că funcția e strict crescătoare și, ridicând la pătrat ultima inegalitate și rezolvând pentru n, obținem n > 5,(5) ceea ce, în numere naturale înseamnă că, pentru orice n>= 6 f(n) > 1, deci există un întreg pozitiv situat între sqrt(n) și sqrt(2n), adică, ridicând la pătrat, există m2 a.î. n <= m2 <= 2n.
Între 1 și doi nu avem pătrat perfect, iar pentru n = 2, 3, 4 sau 5 pătratele se văd fără să fie nevoie de demonstrații,
Am căutat o demonstrație cât mai simplă și cât mai intuitivă.