Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

1 plus 0 minusuri
571 vizualizari

7 persoane au împreună 100 de monede. Dintre aceste persoane nu există două care să deţină acelaşi număr de monede. Se poate arăta că există 3 persoane care deţin împreună cel puţin 50 de monede?

Senior (5.0k puncte) in categoria Matematica

3 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Oricare ar fi cele 7 numere, media lor aritmetică este 14,285.... . Pentru că lucrăm cu numere naturale considerăm media 14 și, pentru că 14*7 = 98, vom avea grijă să adunăm 2 la unul din numere, asfel încât suma 100 să se păstreze.

Consecința acestui fapt este că cel puțin un număr din cele 7 e mai mare că 14 și cel puțin unul e mai mic ca 14. 

Pe baza acestei observații voi construi toate șirurile de 7 numere posibile în jurul lui 14, punând condiția ca abaterea de la medie să fie minimă și determinând ultimul număr astfel încăt suma algebrică a abaterilor să fie zero, iar la ultimul număr astfel obținut voi aduna  2, pentru a păstra suma 100. Procedăm  astfel încât să minimizăm valoarea numerelor peste medie,  de la cazul că numai un număr e peste medie (>14), până la situția că doar un număr e sub medie (<14).

Astfel am obținut următoarele șiruri:

 

9, 10, 11, 12, 13, 14, 14+15+2=31

10, 11, 12, 13, 14, 15, 14+9+2=25

11, 12, 13, 14, 15, 16, 14+3+2=19

12, 13, 14, 15, 16, 17, 14-3+2=13  Acest caz se exclude deoarece se repetă 13.

13, 14, 15, 16, 17, 18, 14-9+2=7.

Am arătat, deci, că minimizând valoarea și numărul termenilor mai mari ca media, există întotdeauna 3 a căror sumă este de minim 50.

 

 

 

Senior (6.6k puncte)
1 plus 0 minusuri

Nu ma pricep la aritmetica dar am gasit solutia urmatoare:10,11,12,14,16,18,19.Suma celor trei numere "bolduite" este 53.

Am gandit cam ca la clasa a IV-a(sau a II-a).50/3=15 rest 5.Adunam sau scadem la/din 15 astfel incat sa fim cat mai aproape de 50.Restul, pana la 100, 47 in cazul de fata, il impartim la 4 si "redistribuim" restul astfel incat sa nu avem numere egale intre ele dar nici numere egale cu celelalte 3.

Cam intuitiva gandirea mea, recunosc!

Din aceasta "solutie" putem "dezvolta" si altele cum ar fi:

9,11,12,14,16,18,20   

8,11,12,14,16,18,21

8,10,12,14,16,19,21

etc.

Gresesc?

Junior (820 puncte)
1 plus 0 minusuri
Să căutăm un contraexemplu. Configurația de șapte numere trebuie să respecte condiția ca suma lor să fie 100, suma celor mai mari trei dintre ele să fie sub 50 și toate numerele să fie distincte.

Cel mai ușor de realizat ar fi cazul în care suma celor mai mari trei numere este 49. Aceste trei numere sînt 15, 16, 18. Există și alte combinații, de exemplu 14, 16, 19, dar asta ar însemna ca cel mai mic dintre ele să se micșoreze și mai mult și să nu mai lase destulă libertate de mișcare pentru celelalte patru numere.

Rămîne să configurăm cele patru numere rămase în așa fel încît suma lor să fie 51. Cel mai mare dintre ele trebuie să fie mai mic decît 15, altfel va intra în rîndul celor mai mari trei numere din toate șapte și le va strica suma de 49. Încercînd diverse combinații observăm că trebuie să folosim numere cît mai mari, altfel suma lor e sub 51. Cele mai mari patru numere sub 15 sînt 11, 12, 13, 14, a căror sumă este 50. Mai lipsește 1 pînă la 51, deci contraexemplul pe care îl căutam nu există.

Configurația care se apropie cel mai mult de un contaexemplu, fără a fi, este următoarea:

11+12+13+14+15+17+18=100

unde suma celor mai mari trei numere este 50, adică cu 1 prea mult. Ajungem la același eșec și dacă încercăm ca suma celor trei numere mai mari să fie 48, 47 etc.

Recunosc că și rezolvarea mea e neriguroasă, prea „intuitivă”, cum spune valangjed.
Expert (12.9k puncte)
...