incercam sa o descopar atunci, demonstratia incepea cu ceva cuburi (acum mi-a reamintit internetul, dar retinusem ceva cu niste termeni la puterea a treia care se reduc si pe vremea aia aveam mai buna tinere de minte :) )
(1+1)^3 = 1^3+3x1^2 + 3x1 +1^3
(2+1)^3 = (1+1)^3 + 3x2^2 + 3x2 + 1
(3+1)^3 = (2+1)^3 + 3x3^2 + 3x3 + 1
(4+1)^3= (3+1)^3 +3x4^2 + 3x4 +1
..........................................................
(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3xn + 1
le adunam, se reduc termenii identici la ^3
(n+1)^3= 1+ 3Σn^2 + 3Σn +n <== > 3Σn^2 = n^3+3n^2+3n+1-1-n-[3n(n+1)/2] <==> 3Σn^2 = n^3 +3n^2 +2n - [(3n^2+ 3n)/2) | x2
6Σn^2 = 2n^3 + 6n^2 +4n - 3n^2 -3n <==> 6Σn^2 = 2n^3 + 3n^2 +n <==> 6Σn^2 = n(2n^2 + 3n + 1) = n(2n^2 + 2n+n+1) = n[2n(n+1) + n+1] = n(n+1)(2n+1) ==> Σn^2 = n(n+1)(2n+1)/6