Voi începe cu punctul 2 care conține punctul 1 ca un caz particular.
Cerința problemei este de a arăta că pentru orice număr n>7 există o pereche (k, p) întregi care să satisfacă ecuația n=3k+5p. Voi nota Modulo x cu modx.
Din punct de vedere al divizibilității lui n cu 3 avem următoarele situații:
1. n=0 mod3 => 0+5p=0 mod3 => p de forma p=3m, m natural, sau
p=.....-12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12,.....
2. n=1 mod3 => 3k+5p=1 mod3 => 3k+5p-1=0 mod3 => 0+ 5p-1=0 mod3 =>
=> p=.... -10, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11,.......
3. n=2 mod3 => 3k+5p=2 mod3 =>0+ 5p-2=0 mod3 =>
=> p=....-11, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10,...... .
În oricare din aceste situații ne-am afla, pentru orice n dat putem alege un p dintr-unul din șirurile obținute, după care se determină simplu valoarea lui k.
De exemplu, pentru n=1175 ne aflăm în cazul 3. Alegem p=10.
Din 1175=3k+5*10 rezultă k=375, adică 1175=3*375+5*10
Dacă alegem p=19, din 1175=3k+5*19 rezultă k=360, adică 1175=3*360+5*19.
De aici se vede și că soluțiile nu sunt unice. Mai mult, având libertatea de a-l alege pe p dintr-un șir infinit de numere întregi, rezultă că există un număr infinit de soluții de tip (k, p) k și p întregi, care satisfac n=3k+5p pentru orice n, nu neapărat cu condiția n>7.
Pentru că problema cere perechile k și p întregi, voi lua un alt n arbitrar, n=2431, pentru alt exemplu.
Observăm că ne aflăm în cazul 2. Alegem p=-10, din 2431=3k+5*(-10) rezultă k=827, adică 2431=3*827-5*10. Este evident că și pentru această valoare a lui n există un număr infinit de perechi (k, p) întregi care satisfac relația.
Partea întâi a problemei este un caz particular pentru k și p naturale.