Mai întâi câteva notații necesare și câteva observații utile.
Am considerat hexagonul în cadranul 1, pozitiv, al sistemului de coordonate, ceea ce nu reduce din generalitate. Notăm colțurile hexagonului începând cu cel dinspre axa y, în sens invers trigonometric, cu A, B, C, D, E și F. Notăm raza cercului circumscris, reprezentată de oricare din segmentele ce unesc centrul H cu unul din colțuri cu r.
Notăm intersecția segmentelor AD și BF cu G și intersecția AD și CE cu I.
Observăm că hexagonul regulat are unghiuri de 120 grade, iar triunghiurile formate de orice latură cu razele cercului circumscris care o subîntind sunt echilaterale, având ungiurile egale cu 60 grade. De aici rezultă că a=r.
Determinăm apotema hexagonului care este, în acest caz, m=a/(2tg30)=(a*sqrt3)/2.
Construim dreptunghiul BCEF a cărui lungime este dublul apotemei adică a*sqrt3 și a cărui lățime este egală cu a.
Voi determina condițiile pe care trebuie să le îndeplinească punctele din plan pentru a se situa în interiorul hexagonului.
1. Un punct e în interiorul dreptunghiului BCEF dacă și numai dacă pentru orice xP în intervalul xH-a/2<xP<xH+a/2, yP respectă condiția yH-(a*sqrt3)/2<yP<yH+(sqrt3)/2. Acest lucru se vede simplu din desen.
2. Pentru ca un punct să fie în interiorul triunghiului ABF, avem valorile lui xP în intervalul
xH-a<xP<xH-a/2. Observăm că unghiul ABF este egal cu 120-90=30 (grade). Variind pe x în intervalul considerat obținem triunghiuri asemenea cu ABG cu catetele xP și yPmax.
Din tg30=xP/yPmax rezultă yPmax=xP*sqrt3. Procedând analog în triunghiulAGF rezultă că yPmax=2xP*sqrt3.
În final, pentru xH-a<xP<xH-a/2 avem yH-m<yP<2xPsqrt3 sau yH-(a*sqrt3)<yP<2xPsqrt3.
3. Asemănător, pentru ca un punct să fie în interiorul triunghiului CDE, xP ia valori în intervalul xH+a/2<xP<xH+a. Variind pe x in sens pozitiv obținem triunghiuri asemenea cu CDI în care tg30=(xH+a-xP)/yPmax. Luând în considerare și triunghjul IDE, rezultă că valoarea maximă a lui yP este yPmax=2(xH+a-xP)sqrt3.
În final, pentru xH+a/2<xP<xH+a avem yH-(a*sqrt3)/2<yP<2(xH+a-xP)sqrt3.
Rezumând,
1. Pentru xH-a/2<xP<xH+a/2 trebuie ca yH-(a*sqrt3)/2<yP<yH+(a*sqrt3)/2;
2. Pentru xH-a<xP<xH-a/2 trebuie ca yH-(a*sqrt3)/2<yP<2xP*sqrt3;
3. Pentru xH+a/2<xP<xH+a trebuie ca yH-(a*sqrt3)/2<yP<2(xH+a-xP)*sqrt3.