Prin definiție o curbă Bezier de gradul 2 are forma ecuației parametrice vectoriale:
C(t)=(1-t)^2*P0+2(1-t)t*P1+t^2P2
unde parametrul t aparține intervalului [0, 1] iar P0(x0, y0) și P2(x2, y2) sunt puncte finale de control pentru arcul de parabolă într punctele P0 și P2, iar P1(x1, y1) este punct intermediar de control.
P0 și P2 sunt situate pe curbă corespunzător valorilor t=0, respectiv t=1 ale parametrului t, iar P1 se află la intersecția tangentelor în P0 și P2 la curbă.
Prin urmare, orice arc de parabolă poate fi descris ca o curbă Bezier pătratică cu condiția determinării coordonatelor punctului intermediar de control P1 situat la intersecția tangentelor în P0 și P2 la curbă.
Observăm că parabola descrisă prin ecuația y=ax^2+bx+c are axa de simetrie paralelă cu axa y, caz în care tangentele se întâlnesc într-un punct de abscisă (x0+x2)/2, deci abscisa lui P1 este (x0+x2)/2.
Calculăm ordonata lui P1 din ecuația tangentei în P0 la curbă. Avem
y=y0+y'(x0)(x-x0) în care, înlocuind x=(x0+x2)/2 și particularizând pentru parabola y=x^2 =>
y1=x0*x2
Deci, coordonatele lui P1 sunt: x1=(x0+x2)/2 și y1=x0*x2.
Pentru a rescrie ecuația curbei Bezier cubice pornind de la forma pătratică aplicăm algoritmul lui de Casteljau. Avem
C(t)=C(t)(1-t+t)=(1-t)C(t)+tC(t). Efectuând calculele și odonand termenii după coeficienții
(1-t)^3, t(1-t)^2, (t^2)*(1-t) și t^3 obținem:
C(t)=(1-t)^3*P0+t(1-t)^2*(P0+2P1)+t^2*(1-t)(P2+2P1)+t^3*P2.
Pentru ca expresia să conțină coeficienți polinomiali Bernstein ai ecuatiei de gradul3 observăm că al doilea și al treilea termen trebuie să fie înmulțiți cu 3/3, iar vectorii care descriu coordonatele punctelor intermediare de control P'1 și P'2 ale curbei Bezier cubice devin:
P'1=(P0+2P1)/3 și P'2=(P2+2P1)/3.
Rezumând:
Pentru o parabolă de forma y=ax^2+bx+c, problema exprimării ei ca o curbă Bezier cubică cere următorii pași:
1. Determinăm punctul intermediar P1 al ecuației Bezier pătratice. Coordonatele acestuia sunt:
x1=(x0+x2)/2 și y1=y0+y'(x0)(x2-x0)/2;
2. Cunoscând coordonatele punctelor de control ale formei pătratice determinăm coordonatele punctelor intermediare de control ale formei cubice astfel:
P'1=(P0+2P1)/3 și P'2=(P2+2P1)/3, unde punctele de control ale formei cubice sunt notate P0, P'1, P'2 și P2.
Pentru cazul y=x^2 voi alege pentru simplificarea calculelor arcul de parabolă între punctele P0(-1, 1) și P2(1, 1). Punctul intermediar de control P1 are coordonatele:
x1=(-1+1)/2=0 și y1=(-1)*1=-1
Trecând la forma cubică, pentru determinarea coordonatelor punctelor intermediare de control P'1 și P'2, aplicând formulele la care am ajuns, avem:
P'1=(P0+2P1)/3=[(-1, 1)+2(0, -1)]/3 => x'1=(-1+0*2)/3=-1/3 și y1=[1+2(-1)]/3=-1/3 și
P'2=(P2+2P1)/3=[(1, 1)+2(0, -1)]/3 => x'2=(1+2*0)/3=1/3 și y1=[1+2(-1)]/3=-1/3