Disc tăiat inegal

Question

O dreaptă taie suprafața unui cerc în două zone. Ariile lor se află în raportul de 2:1. Dacă raza cercului este 1, la ce distanță de centrul cercului trece dreapta?

Aveți voie să folosiți orice metodă și orice sursă de inspirație doriți. Iar eu am voie să aleg răspunsul care îmi place. Singura condiție e să dați soluția cu cel puțin 4 zecimale. În rest probabil voi prefera răspunsul care mi se va părea cel mai ingenios.

Answer 1

 Soluția 1: 

  

  Aria cercului din ipoteză este pi*1^2=pi. Pe un cerc de rază 1 cu centrul în O ducem două raze care fac între ele un unghi notat cu a, care intersectează cercul în punctele A și B. Trasăm segmentul AB. Din O ducem o rază perpendiculară pe AB, care intersectează AB în punctul C. Între segmentul AB și arcul de cerc subîntins de unghiul AOB se formează o suprafață numită segment de cerc. Aria acestui segment de cerc se calculează după formula (simplu de demonstrat): 

  

      A=[(r^2)/2](a-sina)     (1) 

  

 Ținând seama că r=1, avem 

  

      A=(1/2)(a-sina) 

  

 Punem condiția ca segmentul AB să împartă cercul în două suprafețe ale căror arii se află în raport de 2:1, adică  

  

       A=pi/3 => (1/2)(a-sina)=pi/3 => a-sina=2pi/3, de unde a=2,60533 radiani. 

  

 Observăm că segmentul OC este egal cu cosinusul unghiului a/2 în oricare din triunghiurile OCA sau OCB. 2,60533:2=1,302665 de unde rezultă  

  

        OC=cos1,302665=o,264930 aproximat cu 6 zecimale. 

  

 Deci pentru ca segmentul AB să imparta cercul în două suprafețe ale căror arii se află în raportul 2:1, el trebuie să se afle la o distanță de 0,264930 de centrul cercului. 

  

  

 Soluția 2. 

  

 Desenăm cercul de rază 1 cu centrul în originea unui sistem de coordonate cartezian. 

 Orice punct al cercului respectă relația x^2+y^2=1. 

  

 Vom analiza funcția f(x)=sqrt(1-x^2) și vom calcula aria A a suprafeței determinată de graficul funcției și axa x, între x=-1 și x=Xs. Voi nota integrala definită pe intervalul [a,b] cu int.[a,b]. Aria cercului este, evident, egală cu pi.  

 Punem condiția ca segmentul Xs, paralel cu axa y, să împartă cercul în două suprafețe care să respecte condiția din problemă, astfel încât segmentul de cerc din stânga să aibă 1/3 din aria totală a cercului, adică pi/3. Aceasta înseamnă că suprafața de deasupra axei x are aria A=pi/6. 

  

       A=int.[-1,Xs](sqrt(1-x^2)dx.  Integrand prin părți, cu substituția u=sqrt(1-x^2) și v'=1 (v=x) => A= 1/2[xsqrt(1-x^2)+arcsinx], între punctele x=-1 și x=Xs. Notăm primitiva cu F și avem 

  

       A=F(Xs)=F(-1) => 1/2[sqrt(1-x^2)+arcsinx]+pi/4=pi/6, de unde rezultă  

  

       Xs=-0,264932 cu o aproximație de 6 zecimale. 

  

 Deci cercul trebuie să fie tăiat la o distanță egală în modul cu 0,264932 fata de centru, pentru a împarți cercul așa cum cere problema. 

  

 Diferența la zecimala a șasea a apărut ca urmare a rotunjirilor făcute de calculator. 

  

  

  

   

  

Comments

Foarte frumos explicat, bravo, iar soluția numerică e corectă. Prin exact aceleași două metode am rezolvat-o și eu.

Dar n-ați spus cum ați rezolvat în fiecare caz ecuația pe care ați găsit-o, cea cu a-sin(a), respectiv cea cu arcsin(x), în afară de detaliul că rotunjirile au fost făcute de calculator.

---

 Pentru ecuația x-sin=2pi/3 avem f(x)=x-sinx-2pi/3=0. Pentru rezolvare se ia o valoare oarecare a lui x în intervalul [0,2pi) (x este un unghi) și se aplică metoda lui Newton de aproximări succesive după formula Xn=X(n-1)-f[X(n-1)]/f'[X(n-1)], unde n și (n-1) sunt indici. 

 Metoda conduce la găsirea tangentei la graficul funcției în punctul în care ea intersectează soluția. 

 

 Pentru ecuația a doua, prin calcule laborioase se poate dezvolta arcsinx în serie Taylor sau alte forme de dezvoltare care nu presupun derivate de ordin superior. Cum x este în modul mai mic dect 1 se pot neglija termenii de ordin superior cu o foarte bună aproximație, ajungându-se la o ecuație polinomială mai simplă. Am găsit, de exemplu, o dezvoltare de forma:  

 arcsinx=x+(1/2)*(x^3)/3+(1/2)*(3/4)*(x^5)/5+..... . 

  

 Dar nu am facut aceste calcule, nu aș avea nici timpul și nici răbdarea necesară. Spre norocul generației noastre și al celor viitoare, avem o unealtă neprețuită, calculatorul. Important e să știm ce să-i cerem.  

---

Vă întrebasem cum ați procedat dumneavoastră, nu cum se poate face.

Vă spun cum am făcut eu. Am căutat pe internet situri care rezolvă ecuații, care integrează și care diferențiază și am introdus acolo formulele. Apoi am verificat dacă soluțiile numerice se potrivesc cu ecuațiile mele (evident, verificarea e mult mai simplă decît rezolvarea ecuațiilor). Apoi am folosit calculatorul „de buzunar” din Windows într-o manieră similară cu metoda lui Newton pentru a crește în pași succesivi precizia rezultatului. Pe internet am obținut rezultatul numai cu vreo 15 zecimale, dar cu Newton l-am dus la 30 de zecimale în numai cîteva minute (manual).

---

 Eu v-am răspuns clar că nu am făcut calculele pentru a rezolva cele două ecuații ci am folosit calculatorul. Cum? Căutând pe net situri care rezolvă ecuații. Nu am un soft propriu pentru așa ceva. 

 Am verificat și eu soluția găsită, de exemplu integrand de la -1 la -0,26493 funcția, obținând valoarea așteptată, care îl aproximează pe pi/6. 

 Mi-aș fi dorit să găsesc o a treia soluție, mai eleganta, dacă s-ar fi putut, folosind doar geometria clasică, euclidiană, dar nu am reușit. Aș fi curios dacă există una.