Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

6 plusuri 0 minusuri
1.1k vizualizari

Am o carte și o curbez ca în figură, în așa fel încît partea de sus a filelor devine paralelă cu partea de jos (de la cotor). Cînd nu e curbată, cartea are formă de paralelipiped, dar în urma arcuirii se formează unghiul α înscris în figură, diferit de 90°, între planul muchiilor de sus ale filelor și planul filelor.

Cerința 1. Pentru a calcula unghiul α, precizați care din parametrii de mai jos contează:

- grosimea cărții
- grosimea unei file
- numărul de file
- raza de curbură a îndoiturii

Cerința 2. Dați valori arbitrare parametrilor care contează și calculați unghiul α.

carte îndoită

Expert (12.9k puncte) in categoria Matematica
0 0
Și o a treia cerință: care e greșeala din figură?

3 Raspunsuri

6 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
 Considerăm un cilindru de rază r pe care se înfășoară cartea. Observăm că fiecare foaie se înfășoară pe jumătate din circumferința cilindrului.  
 De asemenea, considerăm cotorul cărții aflat exact în poziția din care începe curbarea, în partea de jos a desenului. 
 Notăm grosimea fiecărei foi cu g și începem cu prima foaie. Lungimea foii, de la cotor și până unde se termină, notată cu l, este egală cu jumătate din circumferință plus lungimea necurbata, notată cu h: 
  
 Avem, deci  l=pi*r+h  (1) 
  
 Următoare foaie înfășoară o semicircumferinta mai groasă cu g decât prima și va ajunge la o distanță mai mică de linia de tangenta cu cilindrul, adică, prin îndoire, apare un decalaj de suprapunere. Notăm acest decalaj cu d. În aceste condiții, avem 
  
                   l=pi(r+g)+h-d   (2) 
  
 (1) și (2) =>  pi*r+h=pi*r+pi*g+h-d  =>  d=pi*g. 
  
 Observăm că adăugând încă o foaie, noul decalaj de suprapunere apărut de calculează identic și se obține același rezultat, d=pi*g. 
  
 Ceea ce se obține adăugând foi este o scară, cu înălțimea treptei egală cu g și o adâncime d=pi*g. Planul din desen nu există fizic, desenul trebuia să arate zig-zagul treptelor și nu linii continue (aceasta e greșeala din desen). 
  
 Prin urmare, unghiul a din desen este unghiul dintre cateta d și ipotenuza triunghiului dreptunghic de catete g și d=pi*g.  
 Observăm că tga=g/pi*g=1/pi => a=arctg(1/pi). 
  
 Pentru mine acest rezultat a fost surprinzător deoarece, intuitiv, mă așteptam să conteze și r și g. 
 Răspunsul este că unghiul a nu depinde de niciuna din variabilele din ipoteză. 
  
Senior (6.6k puncte)
0 0
Felicitări!
0 0
Felicitări... parțial. Cerința 1 ați rezolvat-o complet. La cerința 2 aș fi vrut să calculați unghiul, cum spune problema. Ați fi observat atunci că desenul e greșit în mod substanțial și ați fi putut răspunde și la cerința 3. Faptul că în desen nu se vede zig-zagul treptelor se poate explica prin aceea că filele sînt prea subțiri să se vadă individual.

Și mai am o întrebare, special pentru dumneavoastră: este necesar ca partea curbată să fie cilindrică?
1 0
 De calculat am calculat unghiul și am obținut a=arctg(1/pi). Căutând într-un tabel cu valori ale funcțiilor trigonometrice inverse, am găsit a=17,6568 grade într-o aproximație cu 4 zecimale. 
  
 Într-adevăr, asta mi-a dat posibilitatea să văd că unghiul din desen este aproximativ dublu față de  valoarea corectă, ceea ce face ca desenul să exagereze mult suprafața de deasupra. În realitate, suprafața hașurată a planului înclinat ar fi trebuit să fie mult mai mare în comparație cu cea din planul de sus, paralel cu planul orizontal, în reprezentarea bidimensionala a planelor respective. 
  
 Privitor la întrebarea specială pentru mine, răspunsul este: partea curbată nu e nevoie să fie neapărat cilindrică. În cazul cel mai general, al unei curbe neregulate, decalajul de suprapunere este incrementat pentru fiecare interval al curbei care poate fi aproximat cu un semicerc avand centrul de  de o parte a curbei și decrementat pentru fiecare interval similar cu centrul de curbură aflat de cealaltă parte a curbei. În această situație efectele asupra decalajului final se compensează. Pentru a ne păstra în ipoteză problemei, e necesară restricția ca oricărei curbări cu centrul de curbură de o parte să-i corespundă o curbare cu centrul aflat de partea cealaltă a curbei. 
 
     
0 0

Așa este, unghiul are circa 18°, nu 32° cît are în desenul meu. (Pe de altă parte știm că în matematică e nevoie de talentul de a raționa corect pe figuri greșite.)

La întrebarea suplimentară ați răspuns bine, că nu e nevoie ca îndoitura să fie cilindrică. Dar n-am înțeles partea cu semicercurile. Cred că ați vrut să spuneți arce de cerc (indiferent de unghi și rază).

Singura condiție reală este ca între file să nu apară spații, iar raza de curbură minimă a unei file să nu fie mai mică decît permite hîrtia (iar în idealizarea matematică să nu devină negativă, pentru că atunci fila se intersectează cu ea însăși și cu celelalte).

Problema se poate generaliza pentru cazul în care partea de sus nu devine paralelă cu cea de jos, ci formează un unghi oarecare, să-i zicem beta, care în cazul nostru particular a fost de 180°. Atunci rezultatul problemei este:

alfa = arctg(360°/(beta*2*pi)),

unde beta e măsurat în grade, sau

alfa = arctg(1/beta)

dacă beta e măsurat în radiani (iată că există situații în care exprimarea în radiani e mai conventabilă matematic). Unghiul beta poate fi pozitiv sau negativ în funcție de cum îndoim cartea într-un sens sau celălalt și poate depăși 360°, de exemplu dacă curba este o spirală.

O problemă similară este aceasta: O mașină urmează un traseu curbat. Știm distanța dintre roți și forma traseului. Cu cît e mai lungă distanța parcursă de roata din dreapta decît cea din stînga?

Oricum, felicitări pentru răspunsuri!

1 plus 1 minus
1- numarul de file din care rezulta grosimea carti, si raza de curbura a indoiturii

2- pentru un numar de file care sa determine o grosime de 15 mm si o raza de 20mm va rezulta un unghi alfa de 36,9° pentru ca : acea carte in stare normala are o anumita lungime X , indoind-o , am impartit acel X intr-un soi de X/2 , acuma datorita faptului ca ea este alcatuita din file egale ca lungime (notand grosimea ca fiind distanta dintre doua puncte A si B) una din jumatati va avea punctele egale unul fata de celalalt iar cealalta jumatate va avea unul din cele doua puncte A sau B(in functie de fata care este indoita) la distanta diferita , egala cu raza, obtinand astfel doua catete, pe care le impartem si calculam tangenta la minus unu. (zic si eu nu dau cu paru)
Novice (118 puncte)
0 0
1: Dacă grosimea cărții crește, în ce sens se modifică unghiul α? Crește sau scade? Dar dacă crește raza de curbură îndoiturii?

2. Din valoarea de 36,9° ghicesc că dintre cele două catete cea lungă v-a ieșit de 20 mm (cea scurtă e grosimea cărții, 15 mm). Dar cum ați ajuns la concluzia că decalajul dintre cele două coperți este egal cu raza de curbură? Și anume care rază de curbură ați luat-o în calcul, cea interioară sau cea exterioară?

(Prin întrebările astea de fapt încerc să vă invit să vă revedeți raționamentul, pentru că e greșit.)
1 plus 0 minusuri
Frumoasă problemă. Aţi primit un răspuns la fel de frumos şi competent .

Totuşi este vorba de matematică pură şi nu mai trebuie să puneţi problema spaţiilor dintre file, eventual a rigidităţii cotorului şi a influenţei rotaţiei pământului.

Ne îmtrebăm, dacă ar fi nenumărate file există o funcţie care ar descrie conturul acestora? Dar dacă acestea ar dobândi liberatatea, ce traiectorie ar descrie?

Problema similară ne duce cu gândul la sateliţii geostaţionari. Şi ei se rotesc, într-un fel, pentru energie.
Senior (5.0k puncte)
0 0
Pentru comentarii la întrebări apăsați sub întrebare pe „comentează”.
0 0
De fapt am vrut să pun douâ întrebări înrudite.

Mă scuzaţi şi tot respectul nostru (eu şi mâţa mea: meow, meow) .
...