Ce face clientul? Își menține prima alegere sau nu?

Question

 În perioada sărbătorilor de iarnă, un magazin de ceasuri organizează un joc, având ca premii ceasuri de valoare sau ceasuri de jucărie. 

 Jocul se joacă astfe: 

  

 Sunt 3 vitrine, A, B și C,  așezate una lângă alta, acoperite cu storuri. Într-una din vitrine se află un ceas de valoare, iar în celelalte două câte un ceas de jucărie.

Este selecționat un client căruia i se cere să aleagă una din vitrine. Vitrina aleasă rămâne deocamdata acoperită.  Organizatorul alege o vitrină din celelalte două rămase (el știe unde e ceasul de valoare) și îi ridică storul, arătând clientului că acolo se află un ceas de jucărie. Mai departe, oferă clientului posibilitatea de a rămâne la alegerea inițială sau de a schimba vitrina cu cealaltă rămasă acoperită. 

  

 Clientul dorește ceasul de valoare și analizeaza cele două opțiuni: ce șanse are dacă rămâne la prima alegere? Cum s-ar schimba sau s-ar schimba în vre un fel șansele dacă își modifică opțiunea inițială? Este una din strategii mai bună decât cealaltă? Dacă da, care? 

Answer 1

Salut prieteni !

 

M-am gandit ca 100% din cei care stiu problema n-o sa raspunda ca e prea simpla, la fel ca si 100% din cei care n-o stiu - pentru ca li se pare complicata, deci sa raspund eu, care am citit raspunsul cu multi ani in urma :) 

 

Totul se leaga de calculul evenimentului favorabil fata de total posibilitati. Asta inseamna ca:

 

- Daca nu schimbam, ramanem cu probabilitatea initiala de 1/3 = 33% sanse de castig - chiar daca unii se pacalesc apreciind ca sansele se schimba de la sine in 50/50%

 

- Daca schimbam, abia acum probabilitatile se schimba realmente (firesc, nu ?). Astfel, o analiza a repartitiilor posibile (fata de alegerea noastra initiala, buna sau gresita) arata ca ori de cate ori initial am ales gresit (adica 2/3 din probabilitati), schimband, castigam ! Si viceversa, daca initial am ales corect (1/3 probabilitati), schimband, pierdem.

 

Deci strategia corecta este sa schimbam, caci sansele noastre se dubleaza.

 

PS: Cred ca povestea are si o morala interesanta in practica: ori de cate ori se schimba conditiile - modificati-va deciziile ! Si mai mult, inainte de a actiona conform hotararii stabilite cu un timp inainte, verificati preventiv daca s-au schimbat premisele!

 

Desi acesta poate fi un proces stresant si consumator de resurse (plus ca razgandeala este apreciata negativ de ceilalti), sa ne amintim ca exista o vorba populara: "numai boul nu se razgandeste !"

Comments

La doar 3 vitrine nu este foarte vizibil avantajul selecţiei a 2-a, dar dacă am gândi că e vorba de 5 sau mai multe vitrine din care doar una are ceasuri de valoare, restul jucării şi după fiecare selecţie s-ar descoperi câte o vitrină, atunci avantajul selectării unor vitrine diferite la fiecare etapă şi chiar urmărirea vechilor selecţii, în final, când rămân doar două, se va simţi efectiv pregnant. Şansele sunt la ultima selecţie mult mai mari decât iniţial! Interesant!

---

Truth, parerea mea e ca si daca nu schimbam, sansele raman tot 50%

---

Luke, nu e ''alba-neagra'', nu sunt 3 variante sa dam 1/3 sau 2/3. Din moment ce organizatorul a eliminat o necunoscuta din start, nu vad un final din 3 sau 5 ci posibilitatea de a reveni asupra primei decizii, adica nu aleg ''A', ci ''B''

---

Daneel, pai uite unde-ti e scaparea: problema NU intreaba care sunt sansele la ultima alegere, CI care sunt sansele daca-ti schimbi alegerea initiala ! Deci nu este un singur eveniment probabilistic, ci 2 succesive, trebuie avuta in vedere probabilitatea ansamblului !

---

Salut Truth! V-am vazut voturile pozitive si automat m-am gandit ca trebuie sa aveti dreptate. Sa vad daca am inteles:

A, B si C sunt vitrine.

Daca aleg A iar organizatorul C (si vedem ca e jucarie), automat se elimina C. Deci sansele mele cresc la 50%, acuma de ce as schimba?

Daca eu am un bilet la Loto si D-ta ai unul, daca le schimbam intre noi ne cresc sansele de castig?

---

Truth, logica ta ar avea ratiune daca as elimina A, apoi as avea de ales intre B si C. La prima alegere as avea 1/3 sanse de castig, la a doua 2/3. Dar aici nu pot alege de 2 ori pentru ca una din ele este eliminata de organizator. Deci eu A-ul e deja anulat. Eu -exact cum spune Oliver- am doar varianta de a ma hotari daca-mi mentin B-ul sau il schimb cu C. Si pe mine m-au intimidat voturile alea pozitive, dar simt ca ceva nu-i in regula. Mai astepta si alte pareri sa-mi dau seama daca judec gresit sau nu. Cu respect...

---

Oliver & Daneel, o luam babeste. Fie Jucaria 1 si 2 si Ceasul:

Cazul 1 - 1/3 sanse ca initial sa fi ales ceasul, organizatorul imi arata o jucarie - schimband am 1/3 sanse sa PIERD !

Cazul 2 - 1/3 sanse sa fi ales initial jucaria1, organizatorul imi arata jucaria 2, schimband CASTIG !

Cazul 3 - 1/3 sanse sa fi ales initial jucaria2, organizatorul imi arata jucaria1, schimband CASTIG !

Daca nu schimb, RAMAN cu sansa initiala, indiferent de faptul ca organizatorul imi arata o vitrina necastigatoare - pentru ca A DOUA OARA NU ALEG DIN NOU (aici gresiti voi), ci imi ofera doar posibilitatea SA SCHIMB SAU NU alegerea DEJA FACUTA ! Se vede limpede ca strategia buna este sa schimb !

---

Atunci toata lumea ar alege varianta schimbarii. Dar nu se intampla asa. sansele de a ramane la varianta initiala sunt egale cu sansele de a schimba, adica 50%. Nu vad de ce -daca as schimba- mi s-ar dubla sansele. Apropo, nu intervine nici o minte luminata sa ne edifice?! ca in cazul antisemitismului din colinde vad ca au luat foc unii...chiar asa importanta e religia aia de doi bani? Avem 8 voturi pozitive, rog o parte din cei care au votat sa-si justifice alegerea. Multumesc

---

Explicatia lui Truth e clara.  Din cele 3 cazuri posibile 2 sunt favorabile in conditiile in care schimbati  (cazurile 2 si 3, in care concluzia e "CASTIG!") si unul e nefavorabil, cazul 1 in care concluzia e ca, daca schimbati, pierdeti (finalizat cu concluzia "PIERD!"). Toate cazurile studiaza, deci, ce se intampla cu probabilitatile (nu cu ceasurile) daca schimbam.

Daca schimbam, deci, avem 2 posibilitati favorabile, cele finalizate cu "CASTIG!", iar probabilitatea este, prin definitie raportul dintre cazurile favorabile, doua la numar, si cazurile posibile, trei la numar, adica probabilitatea de a castiga prin schimbare e 2/3.

---

@Truth.

Felicitari, Maestro!

---

OK puiu, sunteti maestrii experimentati/seniori. Poate nu vad eu greseala, am sa analizez mai profund, asta e.

---

@ Puiu : sa fim seriosi  !

 

@ Daneel : religia aia nu este importanta in sine, important este ca o natiune considerata civilizata (cum sublinia un coleg) a ucis 6 milioane de evrei dintr-o prejudecata. Pana si in contul Romaniei sunt trecuti vreo 3-400.000 de evrei ...

---

In numele religiei sa moara cati vor, nu-i obliga nimeni. E optiunea lor sa moara din cauza unei credinte religioase, cea mai mare tampenie pe care o poate face un om care se pretinde cu ratiune. Imi pare rau de victimele inocente, care n-au avut de ales, nu de cei care s-au vrut ''martiri'' in numele lui isus sau al nu-stiu-carui personaj inzestrat cu ''puteri divine'' si alea-alea. Nu o natiune a ucis, ci partea/fractiunea religioasa a ei, a nu se confunda cu indivizii rationali. Nu e decat o reluare a cruciadelor, hai sa omoram niste oameni ca a zis papa sau preotul. Scopul final e ca pe mercenarul care omoara nu-l intereseaza de fapt ca victima lui a fost evreu sau musulman sau tigan ci ca i s-a dat voie sa-l omoare si sa-i ia averea/femeia/catelu/purcelu, si-a platit cotizatia, totul e ok.

 Pogromul evreilor si incalzirea globala s-au politizat intr-o asemenea masura incat risca (prin repetare la nesfarsit) sa diminueze pana la anulare dramele individuale al unor oameni nevinovati. Nu a fost vina nimanui, asa a fost conjunctura. Pana la o dezbatere rationala pura 100% mai avem de asteptat, religia inca face victime si va face chiar daca accesul la informatie e neingradit.

Probabil sta in firea omului, in genele lui, nu stiu. Sa creada, nu sa cerceteze...

---

Asta-i tare Truth, am fost iluminat! :))) pe bune, si vreau sa rectific argumentul cu Loto astfel: daca am un bilet la Loto, iar organizatorul elimina celelalte bilete necastigatoare ( sau macar jumate), evident as schimba biletul. Concluzia este ca un raspuns trebuie sa fie cat se poate de babeste ca sa aiba efectul asteptat:)))

Answer 2

Hai sa ma risc la un raspuns: Aleg orice, nu conteaza A,B,C, e irelevant in acest stadiu. Denumim generic alegerea initiala A. Sansele mele de a castiga trofeul sunt in acest moment 1/3. Mergand mai departe cu alegerea, am sanse 50% la suta sa castg in cazul in care n-am nimerit varianta de 1/3. Deci, sansele mele -in ipoteza nenorocoasa- nu s-au dublat, ci au crescut de la 33,(3)% la 50%. nu mai aleg din trei, ci din doua. Buuuuun...acum intervine organizatorul cu optiunea lui: orice as alege eu initial, el imi anuleaza o varianta necastigatoare. Eu vreau vitrina B, el anuleaza A sau C, nu-mi pasa. Imi da posibilitatea sa schimb. Eu nu vreau. Retine, pana acum n-am fost fortat sa-mi incerc norocul, am ales aleator, abia dupa ce s-a anulat o varianta sunt obligat sa aleg. Am sau nu sanse 50 %? Ai spus ca strategia corecta este sa schimbam, pentru ca atunci sansele se dubleaza. O dublare de 50% este deja certitudine. Parerea mea este ca indiferent daca schimbam intre A si C, dam cu banul, in niciun caz nu exista o strategie castigatoare.

Comments

Nu sansa de 50% se dubleaza ci sansa de 1/3. Aceasta rezulta cu claritate din evaluarea sanselor in situatia in care se alege optiunea schimbarii. 

Sunt doua cazuri favorabile din trei posibile. Adica probabilitatea devine 2/3. Analizati cu atentie raspunsul lui Truth si comentariile. Solutia e la vedere.

---

Bine puiu, asta in cazul in care organizatorul se hotaraste sa intervina. Daca n-ar interveni, sansa mea ar fi 1/3, apoi 1/2. Dar el intervine, fiindca vad ca asa-i regulamentul concursului. Sansa de 1/3 se anuleaza din start stiind ca el imi va anula o optiune gresita (prin dezvaluirea unei vitrine-jucarie. Ramanem cu 1/2, nu?!

---

Nu cred ca pot formula o explicarie mai  intuitiva decat s-a scris mai sus, dar incerc.

Probabilitatea initiala de a alege o jucarie, adica de a pierde, este 2/3,  Asta e echivalent cu a spune ca, mutand dupa ce am aflat ca una din celelalte doua vitrine are jucarie, sansa de castig e 2/3.

O demonstratie mai putin intuitiva dar foarte riguroasa se face folosind probabilitati conditionate si aplicand formula lui Bayes.

Am gasit un curs foarte bun de probabilitati pe net, http://www.civile.utcb.ro/cmat/cursrt/psvp.pdf  Cautati capitolul de probabilitati conditionate si calculati, aplicand formula mentionata. 

Problema este: Care e probabilitatea ca, daca am ales vitrina A iar  organizatorul descopera vitrina B, ceasul sa fie in C?

Rezultatul e 2/3.

 

---

Cred ca incep sa inteleg. Daca organizatorul ar indica una din vitrine ca fiind jucaria, ar fi clar 50%. Din momentul in care o alege dupa ce facem noi alegerea...devine simpla ideea. Multumesc pentru rabdare. Uneori logica si intuitia joaca feste.

---

Ma bucur ca v-ati lamurit. Logicii ii jucam noi  feste uneori, fara sa vrem. Intuitia, da, ne joaca ea feste, destul de des.

An Nou cu bucurie!

Answer 3

si eu credeam ca sunt 50% sanse dar organizatorul iti aduce beneficii !!! el elimina un risk pt tine, asta ignora multa lume

exemplu complet: ai vitrinele a, b si c si organizatorul stie ca cel valoros=aur e in vitrina b

varinata 1 tu alegi vitrina a (jucarie) si organizatoru elimina c-ul tot necastigator apoi iti da posibilitatea sa schimbi a-ul necastigator cu b-ul ramas castigator bun e 1-0 pt schibare

varinata 2 alegi b oganiz elimina oricare dintre cele 2 a si c necastigatoare si schimbi. tzeapa pierzi scor 1-1

varinat 3 alegi c si organizatoru elimina a-ul iar tu schimbi c-ul necastigator cu b-ul castigator  2-1 pt schimbare