Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
866 vizualizari
Da sau nu? Justificați răspunsul.
Variante de raspuns:
Da. (1 vot, 10%)
Nu. (7 voturi, 70%)
Nici da, nici nu. (0 voturi)
Și da, și nu. (1 vot, 10%)
Depinde. (1 vot, 10%)
Hmmm... (0 voturi)
Expert (12.8k puncte) in categoria Matematica

3 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
         Această întrebare de matematică ridică unele probleme foarte interesante de natură  metamatematică, la care mă voi referi. 
      Răspunsul imediat ar fi că matematicienii îl consideră neprim, manualele moderne de asemenea, deci e neprim. 
      Grecii antici nici măcar nu-l considerau număr. În Cartea a VII-a a Elementelor, Euclid definește unitatea ca proprietate a oricărui obiect care există de a putea fi numit "unu". Pe de altă parte, în următoarea definiție afirmă că numerele reprezintă multitudini de unități. "Unu" nu este deci un număr ci o descriere a individualității, contribuind, e drept, la definirea conceptului de număr. 
      Matematicienii secolului XIX l-au considerat prim și se pare că ultimul care a făcut-o a fost matematicianul francez Henri Lebesgue (1875-1941). 
      Așa cum spune și Goguv, motivul principal al scoaterii lui 1 de pe lista numerelor prime l-a reprezentat faptul că, prin păstrare, pune în dificultate logică Teorema Fundamentală a Aritmeticii. Această măsură remediază o inconsistență. 
      Pe de altă parte, numărul 1 îndeplinește condițiile de definire a numerelor prime, cea de a fi pozitiv și cea de a nu se divide decât cu 1 și cu el însuși. Scoaterea lui de pe listă înseamnă sacrificarea completitudinii (listei) în favoarea consistenței teoriei. 
      Dar aceasta nu este altceva decât o consecință a Teoremei Incompletitudinii a lui Kurt Godel, teoremă care demonstrează că aritmeticile axiomatice nu pot fi complete și consistente în aceeași măsură. Limita completitudinii e data de faptul că este posibilă formularea unor propoziții înăuntrul teoriei fără ca ele să poată fi demonstrate cu mijloacele teoriei, de forma conjecturilor. Pe de altă parte, limita consistenței e dată de faptul că există propoziții corect formulate din punct de vedere al teoriei care pot conduce la paradoxuri, adică subminează consistența teoriei din interior. Prin teoremele sale, Godel fixează de fapt limitele sistemelor axiomatice "pure".  
      Față de numărul 1 și implicațiile păstrării lui ca număr prim sunt posibile două variante: 
 - păstrarea lui pe lista numerelor prime și o concesie făcută inconsistenței pe care acest lucru o crează, sau 
 - sacrificarea completitudinii listei numerelor prime și salvarea consistenței. 
 Se pare că a două opțiune a fost majoritară. 
      În legătură cu votul meu, aleg după cum urmează: 
 - dacă aș fi elev în bancă, aș vota negreșit "Nu"; 
 - dacă trăiam acum 2300 de ani în Grecia aș fi votat "Hmmm" pentru că nu l-aș fi considerat pe "1" nici măcar număr; 
 - alegerea mea este "și da, și nu", din considerentele de mai sus.  
        
Senior (6.6k puncte)
selectat de
2 plusuri 0 minusuri

Am votat NU din motive legate strict de definitia numerelor prime, care il scoate pe 1 din lista.

 

Intrebarea m-a facut sa ma intreb, cred ca pentru prima data, de ce au ales matematicienii sa il excluda pe 1 din lista numerelor prime, desi e divizibil doar cu...1 si cu el insusi (tot 1, desigur), deci desi indeplineste definitia de numar prim.

 

Asa am aflat de pe Wikipedia ca, daca l-am introduce pe 1 in lista numerelor prime, ar pica una dintre teoremele fundamentale din aritmetica, teorema care spune ca orice numar natural neprim mai mare decat 1 trebuie sa fie unic reprezentabil ca produs de numere prime (considerandu-l prim pe 1 am avea, de pilda, doua reprezentari pentru 15: 3x5 si 1x3x5).

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number#Primality_of_one

 

De ce e asa de important ca aceasta teorema fundamentala sa ramana in picioare in aceasta forma, nu am idee, dar sper ca ne va lamuri cineva...

Senior (7.1k puncte)
0 0
Nu este numar prim pentru ca nu şi-ar aduce aportul, decât ca un simbol, la calcularea celui mai mare număr prim a cărui determinare încă poate aduce bunăstare materială.
0 0

NU , ....   

0 plusuri 2 minusuri

Salut, eu am votat cu "Da" pentru simplul fapt ca nu cred ca definitia numerelor prime este corect formulata tocmai din cauza ca ofera posibilitate interpretarii.

 

Care este sensul propozitie: "un numar este prim daca este divizibil doar cu 1 si......"? Un numar care este divizat cu 1, de fapt nu este divizat.

 

Prin concluzie definitia corecta a numerelor prime ar fi : Un numar este prim daca si numai daca este divizibil doar cu el insusi. 

Junior (394 puncte)
editat de
0 0
Divizibil cu 1 înseamnă că dacă îl împărțim la 1 ne iese un rezultat fără rest.
0 0
 Mergând pe raționamentul dumneavoastră și admițând definiția numerelor prime pe care o propuneți, "1" e prim "dacă și numai dacă e divizibil doar cu el însuși". De acord.  
"El însuși" se întâmplă să fie 1 și, după cum tot dumneavoastră spuneți mai deasupra, "un număr care este divizat cu 1, de fapt nu este divizat".
Deci "1" este un numar care nu se divide cu el însuși, deoarece divizarea cu 1 a oricărui număr, inclusiv 1, de fapt nu e divizare. 
Rezultă că "1" nu întrunește condiția de definire a numerelor prime pe care ați propus-o, deci nu e prim și, în consecință, ar trebui să votați "Nu". 
0 0
Stiu la ce vrea sa se refere, nu astai problema, doar ca nu are sens. Acel rezultat care iese fara rest prin divezarea cu 1 este acelasi daca nu il divizam cu nimic. A diviza inseamna a impartii in mai multe bucati. Propozitia : "Imparte merele astea la Ion." nu are sens intrucat doar i le dai si gata, nu i le imparti.
0 0
:)) puiu, ma-ti surprins placut cu dezbinarea cuvintelor mele. Imi vine sa zambesc cand ma gandesc cum am putut formula asa ceva:). Dar asa s-au finalizat toate definitiile pana la urma. Deci sa revenim la formularea originala.

 

Noua formulare: un numar natural este prim daca este divizibil doar cu el insusi, sau este numarul 1.

 

Iar agrumentul lui goguv: "teorema care spune ca orice numar natural neprim mai mare decat 1 trebuie sa fie unic reprezentabil ca produs de numere prime", ca sa corespunda cu noua definitie a numerelor prime, trebuie sa se reformuleze astfel: Orice numar neprim mai mare decat 1 trebuie sa fie unic reprezentat ca produs de numere prime, altele decat 1.
0 0
 Ceea semnalați ca un aparent paradox nu e deloc paradox. 
  
 Să analizăm propoziția : orice număr neprim mai mare ca 1 are o factorizare unică în numere prime" 
 Citiți-o cu atenție și veți observa că ea nu îl descalifica în niciun caz pe "1" din calitatea de număr neprim. Dimpotrivă, ea ar putea fi reformulată astfel, cu păstrarea riguroasă a structurii logice:  dintre toate numerele neprime, cele mai mari ca 1 au o factorizare unică...... .  
  
 Vă dau un exemplu analog: Toate numerele pare mai mari ca 8 se scriu cu cel puțin două cifre în baza zecimală.
 Această propoziție, echivalentă ca structură logică cu cea dinainte, nu-l decade pe 8 din calitatea de număr par. 
  
 În ambele cazuri, propozițiile afirmă ceva despre mulțimi de numere care au diferite proprietăți, intre care aceea că toate numerele aparținând mutimilor respective sunt mai mari decât niște numere date, 1 în primul caz și 8 în al doilea. 
  
 Nici "1" nu e decăzut din calitatea de neprim, cum nici "8" din calitatea de par.
 
P.S. Constat ca in  timp ce redactam acest comentariu l-ati editat drastic pe al dumneavoastra, lasandu-l pe al meu cam fara obiect.
  
0 0
Da, este corect ce spuneti. Am obsservat asta dupa ce am adaugat comentul si apoi am si sters fraza aceea.
0 0
 Nu e neapărat ilogic ce propuneți în comentariul editat, dar arată dezordonat. 
 De obicei, se compară mere cu mere și pere cu pere. Enunțul despre o proprietate comună a unor numere dintr-o categorie (neprime), toate mai mari decât un număr dintr-o altă categorie (prime) introduce ambiguități în ce privește entitățile comparate. 
 Sună cam așa : Gigi e mai înalt decât toți câinii din adăpost. Ce e Gigi, om sau câine? 
 În plus, desființare divizării cu 1 pe care o propuneți este absolut arbitrară, inutilă și nematematica. 
0 0
Bine, corect! Atunci: Orice numar neprim trebuie sa fie unic reprezentat ca produs de numere prime, altele decat 1.

 

De altfel de ce nu ar fi numarul 1 prim daca corespunde definitiei numerelor prime?
1 0

„A diviza inseamna a impartii in mai multe bucati.” --- Matematica a depășit de mult stadiul acesta. De exemplu în numere reale se poate face împărțire la 0,5, care de fapt înseamnă dublare. Faptul că împărțirea se cheamă împărțire și că deci duce la ideea de „tăiere în părți” nu mai are importanță în matematică. Împărțirea la 1 este cît se poate de rezonabilă. De altfel dacă puricăm cuvintele după sensurile lor primare vom afla că a diviza vine de fapt de la a împărți în două bucăți (fix două!), pentru că asta e originea protoindo-europeană a prefixului dis-. Or azi nimeni nu mai are pretenția ca orice diviziune să fie neapărat în două, tot așa cum nu avem pretenția ca o pîine să aibă exact patru codri de pîine sau un oraș să aibă exact patru cartiere (deși codru și cartier înseamnă amîndouă la origine „sfert”). Hai să folosim cuvintele cu sensurile lor de azi, nu cele din vremuri mult apuse.

„Orice numar neprim trebuie sa fie unic reprezentat ca produs de numere prime, altele decat 1.” --- Nu înțeleg de ce limitați afirmația asta la numere neprime. Ea este valabilă pentru absolut orice număr natural nenul, inclusiv numerele prime și inclusiv 1. De exemplu 7 este produsul al cărui factor (unic) este 7. Probabil îmi veți spune că orice produs trebuie să aibă cel puțin doi factori. La școala generală da, dar în matematică nu. Există produse și cu un singur factor, și cu nici un factor (caz în care are automat valoarea 1).

De altfel sensul teoremei fundamentale a aritmeticii este tocmai acesta: că orice număr natural nenul se poate scrie ca un produs al tuturor numerelor prime, fiecare din ele ridicat la anumite puteri naturale, într-un mod unic. De exemplu:

6 = 2^1 × 3^1 × 5^0 × 7^0 × 11^0 × ... (toți factorii următori au puterea 0)
5 = 2^0 × 3^0 × 5^1 × 7^0 × 11^0 × ... (toți factorii următori au puterea 0)
1 = 2^0 × 3^0 × 5^0 × 7^0 × 11^0 × ... (toți factorii au puterea 0)

Dacă acceptăm că 1 este un număr prim, atunci teorema trebuie reformulată astfel: Orice număr natural nenul se poate descompune într-un mod unic în factori primi diferiți de 1. Asta înseamnă că 1 ar fi număr prim, dar nu ar avea remarcabila însușire a tuturor celorlalte numere prime, aceea de a funcționa ca „particule elementare” din care se poate construi orice număr natural nenul (inclusiv 1).

Atunci e mai bine să considerăm că 1 nu este prim și să modificăm definiția numerelor prime în acest sens: Se cheamă număr prim orice număr natural mai mare decît 1 care e divizibil numai cu 1 și cu el însuși.

Pînă la urmă e o convenție. Iar convenția o stabilim în așa fel încît consecințele ei să fie optime. Este mai util să definim numerele prime în așa fel încît apoi să le putem folosi ca pe niște cărămizi cu maximă generalitate, decît să ne oprim la o definiție simplă care să încurce lucrurile mai tîrziu.

0 0
Multumesc pentru iluminare. Si ma bucur ca pot citi aemenea comenturi pe-aici.
...