Pentru a putea publica, trebuie să vă înregistraţi.
Contul se valideaza de admin in cel mult 24 de ore.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

1 plus 0 minusuri
2.9k vizualizari

Am ajuns in urma unui dialog prelungit cu AdiJapan pe marginea unei intrebari recente sa vorbim despre numarul "e". 

 

Ce este acest "e"? Cine l-a "inventat", daca se poate spune asa ceva, si in ce context? Cum ati "introduce" unui elev de gimnaziu acest numar? E el inteligibil pentru un neinitiat in matematica?

Senior (8.0k puncte) in categoria Matematica

4 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Numărul e are cîteva proprietăți unice. Acele proprietăți îl fac să fie aproape întotdeauna preferat ca bază pentru logaritmi și pentru funcțiile exponențiale. La școală învățăm și despre logaritmi în baza 10 sau alte baze, și funcții exponențiale cu diverse baze, dar în aplicațiile practice ale logaritmilor și exponențialelor se folosește preponderent baza e, pentru că are cîteva proprietăți care le simplifică utilizarea. De aceea logaritmii în baza e se cheamă naturali.

Iată cîteva dintre proprietăți:

- Așa cum a spus și claudius93, dacă luăm funcția exponențială a^x, e este singura valoare a bazei pentru care derivata funcției în punctul x=0 este 1. De fapt proprietatea este și mai remarcabilă: derivata funcției a^x este egală cu ea însăși în toate punctele x, dar asta numai dacă baza a are valoarea e. De altfel funcția e^x (înmulțită cu orice constantă reală) este singura funcție egală în toate punctele cu derivata sa. Și ca urmare e singura funcție care rămîne neschimbată ori de cîte ori o derivăm.

- Logaritmul în baza e, adică logaritmul natural, este singurul care în punctul x=0 are derivata 1. Orice logaritm log (x) derivat dă o funcție proporțională cu 1/x, dar dintre toți logaritmii numai cel natural are derivata egală cu 1/x, fără alt factor. Rezultă că e „natural” să alegem baza e pentru logaritmi, pentru că se simplifică socotelile.

- Descreșterea exponențială se găsește într-o mulțime de fenomene naturale: răcirea unui obiect cald adus într-un mediu rece, descărcarea unui condensator printr-un rezistor, dezintegrarea nucleară, absorbția luminii, amortizarea oscilațiilor etc. etc. Aceste fenomene pot fi descrise printr-un parametru --- temperatură, tensiune etc. --- care variază în timp după funcția e^(-t/tau), unde tau e un parametru cu dimensiune de timp care arată cît de repede se produce fenomenul. În loc de baza e se poate alege orice alt număr, de exemplu 2 sau 10, și descrierea e la fel de exactă. Dar numărul e este singurul care are următoarea proprietate remarcabilă: în orice punct te-ai afla pe graficul funcției, dacă iei tangenta în acel punct și o prelungești pînă ajungi la y=0, intersecția se produce cu exact 1 tau mai tîrziu față de punctul de pornire. În acel moment funcția are valoarea egală cu 1/e din cea inițială.

Mai există și alte proprietăți interesante. Peste una din ele am căzut întîmplător zilele trecute în discuția despre probabilități de aici, din care am aflat că dacă probabilitatea ca un eveniment să se producă e 1/N, atunci probabilitatea ca evenimentul să se producă în N încercări tinde spre 1/e cînd N tinde la infinit. La fel, numărul e poate fi găsit ca limită a unor funcții și serii simple. El apare fără să vrei într-o mulțime de calcule de fizică, chimie, biologie, economie etc.

Deci da, numărul e li se poate explica și celor neinițiați, dar e nevoie ca ei să știe mai întîi cîte ceva despre funcții și derivate. Dar astea sînt concepte intuitive, ușor de explicat chiar cu mult înainte ca ele să se predea la școală (ele se pot explica și fără numere, și fără formule, dar ca să poți vorbi despre numărul e este totuși nevoie și de noțiunea de număr).

Date fiind proprietățile lui remarcabile, numărul e a fost descoperit de mai multe ori, în diverse domenii ale cunoașterii, începînd evident cu matematica, dar și în alte domenii care folosesc matematica pentru a analiza lucrurile.

Găsiți la Wikipedia cîte ceva despre istoria lui și o listă lungă de proprietăți:
https://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathematical_constant%29

Expert (12.9k puncte)
selectat de
1 plus 2 minusuri
la fel ca si "pi" are logica sa, nu vad unde este misterul. Nu poate fi exprimat printr-un numar finit de decimale sau decimale periodice si nu poate fi rezolvat printr-o ecuatie de algebra. Cred ca s-au scris mii de pagini despre asta, in internet se gasesc numeroase referinte despre acest subiect. Acum, cum explicam acest numar unui elev...hmmm, pentru asta avem profesori si din acelasi motiv nu toti putem fi profesori. Cu putin efort si imaginatie cred ca se poate explica. Daca imi vine vreo idee o sa o postez aici. Salut!
Novice (327 puncte)
0 0
Pentru ca tot ati adus vorba de pi, daca in cazul acestuia exista o definitie accesibila pana si unui elev de clasa a 4-a (raportul dintre doua marimi care caracterizeaza un cerc, circumferinta si diametrul), in cazul lui "e" lucrurile sunt, dupa stiinta mea, mai complexe.

Daca ne uitam pe Wikipedia, o sa gasim 2 variante de a "defini" numarul lui Euler, ambele cu ajutorul unor limite la infinit, de siruri ori functii.

Este vorba de limita la infinit a functiei (1+1/n)^n ori de limita la infinit a sirului de forma 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ....

Ceea ce nu e totuna cu un raport intre 2 lungimi care sunt extrem de "palpabile".

Tocmai de asta am si formulat intrebarea, in speranta ca exista vreo modalitate de a "introduce" acest numar unui om cu putine cunostinte de matematica.

Raspunsul poate fi, desigur, si ca nu exista asa ceva.

Astept sa va vina o idee...
4 plusuri 1 minus

Păi poți să-i explici puțin pe ocolite.

Funcția e^x este singura care are valoarea derivatei exact 1 în punctul x=0.

Ce înseamnă asta?

Înseamnă că linia de pantă 1 este tangentă chiar în punctul e^0=1 de pe graficul funcției. Dacă am pune orice altă valoare în loc de 'e' în funcția de mai sus, derivata nu ar mai fi 1. Când calculăm o derivată a unei funcții într-un punct, calculăm defapt tangenta la graficul funcției în acel punct.

 

Trebuie doar să îi explici ce-i acela un grafic de funcție și numai bine poți să îi faci o introducere mică și în derivate. 

Experimentat (3.5k puncte)
editat de
1 0
claudius93 a spus: Funcția e^x este singura care are valoarea derivatei exact 1 în punctul x=0.

Afirmatia este falsa! Functia x+1 are si ea derivata "exact 1 in punctul x=0". Si functia x^2+x+1 la fel. Si o infinitate de alte functii.
0 0
explica-mi si mie, te rog, cum iti da x+1 derivat 1 daca x=0?
1 0
x+1 derivat =1. Derivata este 1 oricare ar fi x. Deci si pentru x=0. Ai inteles?
0 1
Eu faceam inlocuirea inainte de derivare, tot timpul gresesc aici. Mi se pare mai naturala operatia :)
1 1

Da, in legatura cu explicatia. Ai dreptate, ma gandeam la altceva dar am uitat s-o spun. Considerand o functie f=a^x, e este singura valoare a lui a pentru care derivata sa este exact 1 in x=0. Cam asta reiese si din exprimarea mea: "Dacă am pune orice altă valoare în loc de 'e' în funcția de mai sus"

0 2
Si daca vrei acuratete 100%, nu e corect nici ce am spus referitor la derivare: nu tot timpul cand derivam o functie aflam tangenta la grafic, in acest caz mi s-a parut o explicatie mai la indemana. Graficul functiei x+1 este o dreapta, deci n-ai cum sa ii calculezi tangenta. Dar m-am gandit ca e destul pentru cineva din gimnaziu.
1 plus 0 minusuri

Nr e ii este atribuit lui Euler,cel mai fecund matematician.Fiind a doua constanta ca importanţă,din matematica,dupa nr pi ,el apare in numeroase formule,inclusiv in formulele lui Euler pt frunctiile hiperbolice, in forma exponentiala a numerelor complexe etc.El poate fi definit in mai multe feluri ,de exemplu ca limita.De asemenea,exponentiala "e la x" este singura functie a carei derivata este ea insasi dar derivata este de clasa aXI-a iar notiunea de limita de clasa a X-a.Deci un elev de cel mult clasa a 8-a poate intelege acest nr doar ca fiind suma adunata cu 1 a tuturor factorialelor inverse:lucru usor de inteles pt ca poate intelege factorialele inverse aproape la fel de usor ca pe cele directe pe care le poate intelege chiar un copil de clasa a3-a pt ca factoriala(directa) e un produs de nr naturale nenule.

Deci un copil de clasa a3 a poate intelege ca n!=1x2x3x...xn si ,un elev de clasa a 6-a sau a 7-a ,daca stie ce e un nr irational,poate intelege ca o suma cu o infinitate de termeni poate fi egala cu un nr finit :1+1/1!+1/2!+1/3!+...=e aprox 2,71

Novice (290 puncte)
...