Pentru a putea publica, trebuie să vă înregistraţi.
Contul se valideaza de admin in cel mult 24 de ore.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

4 plusuri 0 minusuri
757 vizualizari
1. Probabilitatea ca un om să fie stîngaci e de circa 10%. Atunci într-o grupă de 10 elevi care e probabilitatea ca cel puțin unul să fie stîngaci? Presupunem că elevii nu au fost aleși anume după cum își folosesc mîinile.

2. Probabilitatea ca un bărbat să aibă o formă oarecare de daltonism (percepție deficientă a culorilor) e de circa 10%. Într-un pluton de 20 de soldați care e probabilitatea ca cel puțin unul să aibă daltonism? Din nou, soldații nu au fost selectați după perceperea culorilor.

3. Probabilitatea ca un om să fie homosexual e de circa 10%. Atunci dintr-o echipă de fotbal cu 30 de membri (includem rezervele), care e probabilitatea ca cel puțin unul să fie homosexual? Tot așa, nu s-au făcut alegeri intenționate.

Încercați mai întîi să ghiciți răspunsurile și abia apoi faceți calculul și verificați-vă intuiția.

Bonus. Acum gîndiți-vă cam cîți oameni cunoașteți binișor, în total: rude apropiate, prieteni, colegi de școală sau de serviciu, vecini etc. Calculați care e probabilitatea ca cel puțin unul din ei să fie stîngaci, daltonist sau homosexual, sau calculați cam cîți dintre ei ar trebui să fie așa. Comparați cu ceea ce știți efectiv despre ei.
Expert (12.9k puncte) in categoria Matematica
0 0
Văd că lumea nu se înghesuie, așa că hai să dau un indiciu: care e probabilitatea ca din grupul de 10 elevi să nu fie nici unul stîngaci? Nici primul elev, nici al doilea,... nici al zecelea.

Iar dacă nici așa nu merge, începeți cu 1 elev, apoi cu 2 etc.

3 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Revin cu un alt raspuns. Nu citisem cu atentie comentariile care au aparut pe tema data, dar dupa lectura indiciului oferit de AdiJapan mi-am reconsiderat logica.

 

Pentru inceput, pentru a intelege cum calculam o asemenea probabilitate, am sa incerc o paralela cu o situatie care ne este mai familiara: datul cu banul.

 

Care e probabilitatea ca in doua aruncari succesive ale unei monede sa iasa de fiecare data pajura? Pentru o aruncare individuala e vorba de 50%, pentru ambele, luate impreuna, de 25%. Cred ca acest rezultat e intuitiv pentru oricare dintre noi.

 

Si este asadar vorba de produsul celor doua evenimente individuale: pajura la aruncarea 1 si pajura la aruncarea 2. Daca vorbeam de 10 aruncari ale monedei ajungeam la 0,5 la puterea a 10-a.

 

In cazul celor 10 elevi imaginat de autorul intrebarii, fiecare din evenimentele individuale (nici primul elev nu e stangaci, nici al doilea elev nu e stangaci, etc.) are o probabilitate de 0,9, cf. ipotezei problemei (evenimentul contrar, ori complementar, nu stiu care este terminologia corecta, are o probabilitate asociata de 0,1).

 

Cele 10 evenimente, luate impreuna, au o probabilitate de 0,9 la puterea a 10-a. Calculati si veti obtine aproximativ 0,35. Aceasta este probabiltatea ca niciunul din cei 10 sa nu fie stangaci, eveniment complementar cu cel in care macar unul este stangaci.

 

Asta inseamna ca probabilitatea ca macar unul dintre elevi sa fie stangaci este de aproximativ 0,65. 

 

Incerc sa formalizez si matematic raspunsul, folosind literele sugerate de AdiJapan in comentariul sau:

 

Daca probabilitatea ca un individ să aibă o anumită însușire este P, atunci într-un colectiv aleator de N indivizi probabilitatea Q ca măcar un individ să aibă acea însușire va fi:

Q=1-(1-P)^N

 

Daca este corect rationamentul meu, valorile pentru celelalte doua cazuri din problema reies foarte usor.

Senior (8.0k puncte)
selectat de
1 0
Trebuie specificat ca in problema am plecat de la premiza ca doua evenimente numite de mine complementare (in limbaj logic cred ca e vorba de un eveniment P si un eveniment non-P, negatia primului) au impreuna o probabilitate egala cu 1.
2 0
Felicitări! Nu mai aștept și alte răspunsuri, al dumneavoastră e cît se poate de bun și justificat. Avînd în vedere și răspunsul greșit pe care l-ați dat înainte, mă bucur cu atît mai mult că v-ați reușit descurcat prin propriile puteri.

Ca să fie spus, la punctele 2 și 3 răspunsurile numerice sînt 0,88 și 0,96.

Asta înseamnă că la grupuri de cîteva zeci de persoane luate aleator, este foarte probabil ca cel puțin una să fie stîngace, daltonistă sau homosexuală. Și fiecare dintre noi are un grup de cunoștințe de cîteva zeci de persoane. Dacă cunoști 100 de oameni --- ceea ce e foarte obișnuit, incluzînd rude, colegi de tot felul, șefi, profesori, prieteni, vecini etc. --- atunci probabilitatea ca printre ei să fie un homosexual este de 99,997%, adică practic o certitudine. Pentru mulți poate părea surprinzător.
1 plus 0 minusuri
Să zicem că ştiu binişor 30 de persoane. Asta înseamnă că e probabil ca trei dintre ei să fie stângaci, trei să fie daltonişti şi trei să fie homosexuali. Dar procentele date sunt reale? Chiar 1 din 10 români e homosexual? Nu cred. Cum s-ar şti aşa ceva?

Bun, dar pe de altă parte aceste statistici nu înseamnă nici pe departe că se aplică fiecărui grup de 30 de persoane, pentru că procentele sunt corecte la numere mari. Dar cât de mari? Nu ştiu...

Statistica nu mereu ne spune chestiuni utile. De exemplu mi-e greu să cred că se aplică României vreunul dintre aceste procente. Există studii pe această temă?

Altfel, dacă am înţeles eu ideea - da, e interesantă înşiruirea de procente.
Senior (11.9k puncte)
1 1
Ideea era să găsiți formula. Dacă probabilitatea ca un individ să aibă o anumită însușire este P, atunci într-un colectiv aleator de N indivizi care e probabilitatea Q ca măcar un individ să aibă acea însușire.

Restul întrebării e o aplicație socială. Da, procentajele sînt reale, dar numai aproximative. Toate cele trei însușiri sînt cam la fel de frecvente în toate țările și sînt constante în timp. La daltonism cifrele se referă numai la bărbați (la femei afecțiunea e mult mai rară). La sexualitate statisticile se culeg mai greu, pentru că stigma socială îi descurajează pe respondenți să fie sinceri. Imaginați-vă că la recensămînt ni s-ar pune și întrebarea "V-ați masturbat vreodată?" Procentajele ar ieși ridicol de mici; știm că în realitate sînt peste 90-95% la bărbați. La fel se întîmplă acum cu întrebarea despre religie. Ateii (agnosticii etc.) sînt mult mai numeroși decît ies la recensăminte. De vină este parțial rușinea.

Iar întrebarea mea, pe lîngă frumusețea ei matematică, are rostul de a vă spune că foarte probabil există o discrepanță mare între ce știm despre cercul nostru de cunoștințe și care e realitatea. Cu cît o însușire personală e mai puțin vizibilă și percepută social ca mai rușinoasă, cu atît indivizii sînt mai puțin deschiși spre a și-o afirma. Cu toții avem printre cunoștințe probabil cîțiva stîngaci de care știm că sînt stîngaci, dar mai puțini daltoniști și poate nici un homosexual, deși procentajele reale sînt aproximativ egale. Iar morala e că poate sîntem noi înșine vinovați pentru lipsa de sinceritate a oamenilor din jurul nostru.

Dar mai întîi rezolvați partea de matematică. :-)
2 0
eu am inteles ca idea era sa "ghicim" raspunsurile fara sa calculam. Sa ghicim cum si de ce?
 :) ca si anecdota, eu personal, nu am nevoie sa "ghicesc" care dintre cunoscutii mei sunt homosexuali, ii cunosc foarte bine si sunt persoane de toata increderea, printre cele mai educate pe care le cunosc si pentru care am foarte mult respect. Pentru ca traiesc intre oameni, nu intr-un barlog de animale unde persoanele sunt judecate dupa cum se imbraca sau ce preferinte sexuale au.
  Cat despre formula, cum nimeni nu expus-o poate ne faci favoarea, la calculul probabilitatilor sunt bata, dar sunt curios cum se face...inainte de a cauta in amicul goagal si sa ma dau destept (fara aluzie, serios). Salut!
2 0
Treaba cu ghicitul era numai preliminară. Am zis: mai întîi ghiciți și apoi faceți calculul ca să vă verificați intuiția. Dar nu e obligatoriu, puteți face și numai calculul. Problema e de matematică (și e simplă, n-aveți nevoie de goagăl).

În privința bîrlogului, vă felicit că sînteți printre excepții. Majoritatea românilor se află încă în bîrlog. Mai mult, o bună parte chiar vor să stea acolo.
1 plus 0 minusuri
Intuitia mea in ale statisticii, caci nu ma pot lauda cu nimic solid in domeniu, imi spune ca in toate cele 3 cazuri probabilitatea este egala cu 1 (100%).

Daca probabilitatile ar putea fi si supraunitare, in cazurile 2 si 3 as merge chiar la 200% si 300%, dar banuiesc ca e impropriu asa ceva...

Deci, pur statistic, ar trebui ca in grupul de 10 sa fie un stangaci, lucru care se cam verifica si in practica, raportat la cunoscutii mei (fiind vorba de un atribut ne-tarat socialmente).

La fel , pur statistic vorbind raportat la ipoteza dvs., in grupul de 20 de oameni ar trebui sa fie 2 daltonisti. si in grupul de 30 de barbati ar trebi sa fie 3 homosexuali. Un daltonist cunosc, si chiar imi amintesc cu surprindere de momentul cand mi-a spus asta.

Am ramas cu impresia ca se simtea in neregula putin din aceasta cauza, lucru care mi s-a parut haios la vremea aceea, neavand vreo prejudecata in acest sens.

Cat priveste homosexualii, nu cunosc niciunul personal. Aici cred ca distributia statistica e influentata puternic de mediul in care se invart respectivele persoane. Adica nu mi se pare anormal dpdpv statistic ca din cei, sa zicem, 30 de barbati pe care ii cunosc, niciunul sa nu fie homosexual.

Pur si simplu in Romania homosexualii nu socializeaza prea tare cu cei cu orientare heterosexuala. Cel putin asa cred eu sa fie...
Senior (8.0k puncte)
editat de
0 0
Rectific. Se face produsul probabilitatilor individuale si apoi se considera evenimentul negatie al celui sugerat de  dvs. Odata ajuns acasa, voi face si calculele...
0 0
După cum bine v-ați dat seama probabilitatea nu are cum să fie peste 1, iar în cazurile din problemă nu poate fi nici egală cu 1. De asemenea, faptul că stîngacii sînt 10% din populație nu înseamnă că automat în fiecare grup de 10 oameni obligatoriu unul e stîngaci. Poate să nu fie nici unul, pot fi 2, pot să fie toți 10 (dar cu probabilități diferite).

Daltoniștii se feresc să se știe că sînt daltoniști, dar în general nu-și fac griji prea mari. Dacă îl „prinzi” pe vreunul că nu se descurcă cu o schemă cu multe culori sau că-și asortează ciudat culoarea hainelor, îți spune că e daltonist și gata. Unii îți spun de la început, ca să nu ai surprize. Dezavantajele sînt minore, de exemplu la carnetul de conducere (dar știați că România e una din foarte puținele țări din lume unde daltoniștii n-au voie să conducă?).

Aveam și eu un coleg în liceu, cu care eram și foarte bun prieten, și mereu la trecerea de pietoni zicea: „Hai să trecem pe roșu, și dacă vine miliția zicem că sîntem daltoniști” (ei, da, era pe vremea miliției). Și treceam pe roșu. Abia apoi aveam să aflu că el chiar era daltonist. Nu-i vorbă, știa ce culoare are semaforul, dar în alte situații trebuia să trișeze (de exemplu la examenul medical pentru armată).

În schimb homosexualii se ascund mult mai bine. Nu e chestie de socializare și nici de mediu (există în proporție egală în toate mediile). Chiar presupunînd că un homosexual ar putea fi ceva mai retras decît restul, el are în mod inevitabil rude, colegi, șefi etc., deci se află în cercul de cunoștințe al cuiva. Faptul că nu știți nici un homosexual nu înseamnă că nu e nici unul printre cunoștințele dumneavoastră, ci doar că nu v-a spus sau nu v-ați dat seama încă. Iar asta e o reacție la atitudinea intolerantă a societății.
1 0
Cred ca ar fi interesant de dus si mai departe rationamentul, in masura posibilului...
Atat eu, cat si Quark am impresia, am avut tendinta de a asocia probabilitate maxima (1) prezentei unui stangaci intr-un grup de 10 elevi.

Care e de fapt probabilitatea ca EXACT un stangaci sa fie intre cei 10?

As aborda problema insumand probabilitatile asociate fiecaruia dintre cele 10 cazuri posibile ca exact un elev din cei 10 sa fie stangaci: primul sa fie stangaci si ceilalti nu, al doilea sa fie stangaci si ceilalti nu, etc.

In fiecare din cele 10 cazuri, probabilitatea este egala cu
0,1 deinmultit cu 0,9^9, adica 0,1*0,3874.

Asta inseamna ca probabilitatea ca exact unu din cei 10 sa fie stangaci este in jur de 0,387.

Cum procedam pentru EXACT doi, ori mai mult de doi? Cum formalizam matematic?

Deci as intreba asta:

Daca probabilitatea ca un individ să aibă o anumită însușire este P, atunci care va fi probabilitatea Q ca într-un colectiv aleator de N indivizi exact M indivizi să aibă acea însușire?

Cred ca va fi nevoie si de ceva combinatorica, notiuni fundamentale...

Later edit:
Am ajuns la urmatoarea formula. Daca e incorecta, sper sa vina cineva cu varianta buna:

Q = CMN (combinari de N luate cate M) * P^M * (1-P)^(N-M)

Iar asta inseamna ca daca vom face suma acestor valori pentru M variind de la 0 la N, aceasta va trebui sa aiba valoarea 1 (plaja tuturor evenimentelor posibile in probelma data).
1 0
Am ajuns la concluzia ca intr-un grup de 10 probabilitatea ca exact unul sa fie stangaci este in jur de 0,39.

Deci, daca luam populatia Terrei si o impartim aleatoriu in grupuri de cate 10, in 39 de grupuri dintr-o suta vom avea exact un stangaci?

Asta e semnificatia rezultatului? Caci daca da, mi se pare interesant de discutat pe tema legitatilor care guverneaza o asemenea distributie, una pe care o gasesc contraintuitiva.

Practic intrebarea devine: ce inseamna aleatoriu? Care e legea care defineste o distributie aleatorie? Intuitiv, ar parea "normal" ca in oricare 10 sa avem fix 1 stangaci, dar totusi calculele ne arata ca doar in 39 de cazuri dintr-o suta, cu aproximatie, vom avea exact 1 stangaci.
1 0
Întrebarea pe care o puneţi e interesantă, iar formula la care am ajuns eu e aceeaşi, cea cu CMN. De exemplu într-un grup de 10 oameni probabilitatea ca exact 2 să fie stîngaci e de circa 19%. Pentru exact 1 stîngaci iese într-adevăr 39%. (Da, rezultatul înseamnă că dacă iei foarte multe grupuri de cîte 10 oameni, aproximativ 39% din ele vor avea exact 1 stîngaci.)

Nu cred că e contraintuitiv. Adică mi se pare simplu să-ţi imaginezi că dacă grupezi oamenii cîte 10 nu va fi exact 1 singur stîngaci în fiecare grup, ci sînt şi fluctuaţii. Problema e că e foarte uşor să greşeşti şi să interpretezi formula "1 din zece" prea textual.

"Aleator" în cazul de faţă înseamnă că laşi fiecare eveniment să se producă cu probabilitatea respectivă, adică în cazul nostru laşi fiecare individ din grup să fie stîngaci sau dreptaci cu probabilitatea dată. Restul rezultatelor decurg din condiţia asta.

O altă întrebare care mie mi se pare foarte interesantă ar fi următoarea:

Dacă probabilitatea ca un individ să aibă o anumită însuşire este de 1 la N, atunci există o anumită probabilitate P ca într-un grup de N indivizi să fie cel puţin unul cu acea proprietate. Întrebarea e: ce se întîmplă dacă acel număr N tinde la infinit? Răspunsul are legătură cu numărul e.
1 0
M-a ajutat un calculator de limite online sa aflu ca, atunci cand N merge spre infinit, lim [(1-1/N)^N] este egala cu inversul lui e.

Deci semnificatia ar fi ca, desi la infinit probabilitatea ca un individ sa aiba o insusire tinde catre 0, totusi probabilitatea P nu e deloc de neglijat, in jur de 0,63.

Ceea ce, din nou, poate parea la o privire superficiala tare contraintuitiv...
0 0
Probabilitatea pentru 1 individ scade într-adevăr spre 0, dar grupul în care ne uităm creşte spre infinit, în aproximativ acelaşi ritm.

Rezultatul de 0,63 este de fapt limita pentru infinit a rezultatului de 0,65 pe care l-aţi obţinut mai sus pentru 10 elevi.
0 0
Intr-adevar, aveti dreptate. Mai devreme chiar incepusem sa calculez intre ce limite se misca valoarea acestui P, care tinde spre 0,63.

Pentru N=1 P este 1, iar pentru N=2 scade la 0,75. Foarte repede, odata cu cresterea lui N, valoarea lui P merge la 0,65 cand N se apropie de 10 si apoi spre acest 0,63, cand N creste foarte mult...

He he, de multa vreme nu mi-am mai accesat neuronii care se ocupa cu matematica. Cred ca acea parte a creierului meu ar trebui sa va fie recunoscatoare pentru ca ati trezit-o din letargie :)
0 0
Mă bucur că v-a folosit. Pe mine m-a surprins că la început nu păreaţi deloc să vă descurcaţi cu calculele, pentru ca mai apoi să le faceţi foarte bine. Felicitări!
0 0
nu am inteles foarte clar : probabilitatea ca macar unul din grupul de 10 sa fie stangaci este de 0.65 sau 0,39 ?
0 0
0,65 e probabilitatea ca cel puțin unul să fie stîngaci.
0,39 e probabilitatea ca exact unul să fie stîngaci. Restul pînă la 0,65 e probabilitatea ca dintre cei 10 elevi să fie 2 sau mai mulți stîngaci.
0 0
va multumesc mult pentru raspuns, insa, cu riscul de a deveni deosebit de insistent, trebuie sa va intreb cum se ajunge la cele doua rezultate (prin ce formule) ?
1 0

Formulele au fost deja explicate pe pagina asta. Dar iată din nou cum se ajunge la rezultate:

Primul rezultat. Mai întîi, care este probabilitatea ca nici un elev din cei 10 să nu fie stîngaci? Situația asta se produce dacă nici primul nu e, nici al doilea, ..., nici al zecelea. Probabilitatea ca un elev să nu fie stîngaci este de 0,9 (este 1 minus probabilitatea ca el să fie stîngaci). Probabilitatea ca mai multe evenimente să se producă simultan (nici unul să nu fie stîngaci) e produsul probabilităților individuale (primul să nu fie, al doilea să nu fie etc.). Deci probabilitatea ca nici unul să nu fie stîngaci e 0,9*0,9*...*0,9, de zece ori, adică 0,9^10. Rezultatul e 0,35.

Atunci probabilitatea ca cel puțin un elev să fie stîngaci este exact cea complementară: 1 - 0,35 = 0,65.

Al doilea rezultat. Probabilitatea ca exact un elev să fie stîngaci este suma probabilităților următoare:

- ca numai primul să fie, iar ceilalți nu;
- ca numai al doilea să fie, iar ceilalți nu;
...
- ca numai al zecelea să fie, iar ceilalți nu.

Fiecare caz în parte din cele zece are probabilitatea 0,1*0,9^9. În total cele zece cazuri împreună dau 0,9^9, care face 0,39.

...