Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
429 vizualizari
Un cub de 3 x 3 x 3 este format din 27 cubulețe identice. Un plan perpendicular pe diagonala cubului trece prin centrul cubului. Câte cubulețe intersectează acest plan? (Subiect prezentat la Concursul “Cangurul matematic”, clasele XI – XII)
Junior (1.2k puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

4 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
Planul intersectează 19 cubulețe, și anume:

- 1, cel din centrul cubului;
- 6, cele din centrele tuturor fețelor exterioare ale cubului;
- 6, cele de la mijloacele acelor muchii ale cubului care nu se intersectează cu diagonala dată;
- 6, cele din colțurile cubului, cu excepția celor două aflate la capetele diagonalei date.

Altfel spus, planul nu intersectează 8 cubulețe: cele două aflate la capetele diagonalei și cele 3+3 vecine ale lor care se află pe muchiile cubului.
Expert (12.8k puncte)
selectat de
0 0
Cum ați construit planul din ipoteză?
 Să notăm colțurile cubului astfel: A, B, C, D, E, F, G, H, cu E sub A, F sub B, G sub C și H sub D.  
 De asemenea, să considerăm că diagonala pe care construim planul secant este AG.
 Prin ce puncte trece planul folosind notația propusă?
0 0
Planul trece prin mijloacele tuturor celor 6 muchii ale cubului care nu conțin punctele A sau G.
0 0
Viziunea mea spațială e mai degrabă precară și nici cu desenul nu stau prea bine.
 Vă rog să mă ajutați să înțeleg unde greșesc dacă greșesc.
 Cu notația propusă mai sus, fac următoarele observații:
 - Planul dreptunghiului BCHE trece prin centrul cubului;
 - Planul dreptunghjului ADGF este perpendicular pe planul dreptunghiului BCHE, ele se intersectează după o dreaptă care înțeapă cubul în mijlocul feței DCGH , iese din cub în mijlocul feței ABFE și trece prin centrul cubului;
 - Planul dreptunghiului ADGF conține diagonala AG, implică planul dreptunghiului BCHE este perpendicular pe diagonala AG și o intersectează în centrul cubului;
 Observăm că planul dreptunghiului BCHE intersectează 9 cubulețe.
0 0
Ați greșit la ultimul pas: „implică planul dreptunghiului BCHE este perpendicular pe diagonala AG”. Dacă planul P1 este perpendicular pe planul P2 asta nu înseamnă că orice dreaptă din P1 e perpendiculară pe P2 (contraexemplul cel mai la îndemînă e dreapta care aparține ambelor plane).
0 0
Da. Aici era eroarea. Multumesc pentru ajutor.
0 plusuri 1 minus

Un plan perpendicular pe diagonala cubului este de fapt o alta diagonala. Deci intrebarea ramane: Cate cubulete intersecteaza planul care taie cubul(mare) in doua pe diagonala? Raspuns: 21.  (27-6 cubulete de la muchiile paralele cu acel plan)

Junior (394 puncte)
0 0
Diagonala unui cub este un segment si nu poate fi identica cu un plan (un plan nu se reduce la un segment). Daca ai vrut sa spui ca planul perpendicular pe o diagonala a cubului include alta diagonala a cubului, din pacate nici asta nu este adevarat. Diagonalele cubului, luate doua cate doua, sunt diagonale in dreptunghiuri, iar diagonalele unui dreptunghi nu sunt perpendiculare (in general, doar daca dreptunghiul este patrat sunt perpendiculare, ceea ce nu este cazul cu dreptunghiurile cu includ diagonalele cubului).
...