Voi da o soluție accesibilă nivelului gimnazial.
Observăm de la început că unghiurile ABC și ACB au fiecare 72 grade.
Construim bisectoarea unghiului ABC și notăm cu N intersecția acesteia cu latura AC.
Observăm că triunghiul NAB este isoscel cu vârful în N, deoarece unghiurile de la bază sunt egale (au fiecare 36 grade), deci segmentele NA și NB sunt egale, NA=NB (1). Rezultă de aici și că unghiul ANB=108 grade => unghiul BNC=180-108=72, adică BNC=72 grade (2).
(2)=> triunghiul BNC este isoscel cu vârful în B deoarece unghiurile de la bază sunt egale (au fiecare 72 grade) => segmentele NB și BC sunt egale, adică NB=BC (3).
(1) și (3) => NA=BC, dar BC=MA din ipoteză, deci NA=MA => MB=NC. Aplicând reciproca Teoremei lui Thales (e simplu de demonstrat că e valabilă) triunghiului ABC intersectat de segmentul MN, rezultă că segmentul MN este paralel cu BC, deci patrulaterul MNCB este un trapez isoscel. Unghiurile analoage formate de diagonalele trapezului cu laturile neparalele sunt egale, deci unghiurile BMC și BNC sunt egale și aplicând (2) => unghiul BMC=72 grade.