Cum trasezi tangenta?

Question

Ți se dau un cerc și un punct exterior. Folosind numai rigla (negradată) și compasul, trebuie să trasezi cele două segmente de dreaptă care pornesc din puntul dat și sînt tangente la cerc. Cum procedezi?

Ca precizare, cu rigla poți să desenezi segmente de dreaptă numai dacă ai două puncte prin care trece dreapta. Punct înseamnă fie înțepătura compasului, fie intersecția a două linii (drepte sau curbe). Ca urmare nu merge să pui rigla pe hîrtie și să trasezi tangenta imediat, la ochi. Trebuie mai întîi să găsești punctul de pe cerc prin care va trece acea tangentă.

Cine rezolvă problema asta poate încerca încă una, similară dar mai grea, ca bonus. Ți se dau două cercuri care sînt exterioare unul celuilalt. Folosind numai cu rigla și compasul trebuie să găsești cele patru tangente comune ale cercurilor.

Stilul ăsta antic de probleme de geometrie poate părea inutil și depășit astăzi, dar de fapt cel puțin o parte din calea de rezolvare ne poate folosi în softurile de desenare, oricît de moderne ar fi ele.

Comments

Cred ca putem construi un triunghi dreptunghic cu una din catete =  raza iar ipotenuza segmentul care uneste centrul cercului cu punctul exterior. Trasam un cerc cu centrul in punctul exterior si de raza cealalta cateta a triunghiului dreptunghic.

---

Mă gândesc și la bonus. Prin "exterioare unul altuia" înțeleg că cercurile nu au puncte de intersectie, iar cele patru tangente sunt  patru puncte de tangență care se pot construi folosind  două drepte, tangente, fiecare, la ambele cercuri.

---

Trabuk, da, ideea e bună, dar construcția presupune și pașii intermediari.

Puiu, exterioare unul altuia înseamnă că distanța dintre centre e mai mare decît suma razelor. Nu ajunge ca cercurile să nu se intersecteze nicăieri, pentru că ar putea fi unul în interiorul celuilalt. Numai dacă sînt exterioare au patru tangente comune. (Apropo, o tangentă nu este un punct, ci o dreaptă...)

---

Eroarea mea. Eram cu gandul la situatiile A si B descrise mai jos.

Answer 1

 

 Voi încerca să descriu cât de bine pot în cuvinte. 

 Notăm cu O centrul cercului și cu P punctul exterior. Unim cele 2 puncte și obținem segmentul OP. 

 Folosind compasul determinăm mijlocul lui OP. Pentru aceasta luăm la ochi o deschidere a compasului mai mare decât jumătate din OP și înțepăm cu compasul  capetele lui OP, descriind câte două arce de cerc de o parte și de alta a segmentului. Unim punctele de intersecție ale arcelor de cerc astfel obținute. Punctul de intersecție a noului segment cu OP reprezintă mijlocul lui OP notat cu O1. 

 Construim un cerc cu centrul în O1 care să aibă diametrul egal cu OP. Acest cerc va intersecta cercul O în punctele T1 și T2. Folosind rigla, unim O cu T1 și O cu T2. Unim, de asemenea, P cu T1 și P cu T2.  

 Observăm că unghiul format de OT1 și T1P este drept, deoarece el subîntinde un semicerc (intersectează capetele diametrului OP în cercul O1) deci este un unghi drept. 

 Știm că o tangentă la un punct al cercului este perpendiculară pe raza cercului în acel punct. 

 Observăm că OT1 este rază lui O, deci T1P este tangenta din P la cercul cu centrul în O. 

Analog, T2P este cealalta tangenta din P la cercul O. 

Comments

Felicitări! Eu cerusem doar construcția, pe care ați terminat-o undeva pe la mijlocul răspunsului, dar ați dat și demonstrația.

Bonusul l-ați rezolvat?

---

Am rezolvat bonusul, dat va trebui un adevărat tur de forță pentru a povesti desene. Încerc.  
 Precizez că situația în care cercurile sunt egale e banală, deci voi lua cazul cercurilor inegale, cel mare de rază R și cel mic de rază r, cu centrele O, respectiv o.
 Mai precizez că avem de studiat două tipuri de situații:
 - tipul A, în care tangentele se află de o parte și de cealaltă a segmentului care unește centrele cercurilor și
 - tipul B, în care tangentele intersectează segmentul care unește centrele cercurilor.
 Cu o ultimă observație,  aceea că în fiecare din situațiile A și B e suficient să construim o singură tangenta, cealată formându-se analog, începem cu tipul A.
 Dăm compasului o deschidere egală cu R-r și, cu această deschidere desenăm în interiorul cercului mare un cerc concentric de rază R-r.
 Din centrul cercului o rămas în afară, ducem o tangentă la cercul de rază R-r, am arătat mai sus cum. Unim O cu cu punctul de tangenta obținut și prelungim acest segment până intersectează circumferința lui O. Din modul cum le-am construit, cele două circumferințe concentrice au între ele distanța r. Raza R formează un unghi drept cu tangenta construită.  
 În cercul o desenăm raza acestuia astfel încât ea să fie paralelă cu R obținut la pasul anterior (se poate doar cu rigla și compasul).
 Unind punctul de intersecție al lui R cu cercul O și punctul de intersecție al lui r cu cercul  o,  se obține un segment paralel cu tangenta din o la cercul de rază R-r.
 Aceste două segmente, împreună cu r obținut în o și distanța r delimitată pe R din O de cele două circumferine concentrice, formează un paralelogram cu un unghi drept, deci un dreptunghi.
 Aceasta înseamnă că segmentul astfe construit este tangent la cele două cercuri.
 Am rezolvat și situația B, dar e ceva mai complicată și o voi scrie mai târziu. Bineînțeles, dacă între timp nu se găsește cineva care să o rezolve.

---

Ați dat o soluție foarte diferită de a mea, deci cu atît mai interesantă și pentru mine.

Iată cum am rezolvat eu, folosind triunghiuri asemenea. Sar peste pașii mici pe care știm amîndoi cum să-i rezolvăm. Mai întîi cele două tangente exterioare:

1. Desenez dreapta care unește centrele cercurilor, Oo.

2. Construiesc două perpendiculare pe Oo în centrele cercurilor (folosind cercuri auxiliare, știți cum). Fiecare perpendiculară își intersectează propriul cerc în două puncte, dar aleg la fiecare numai punctul de pe o anumită parte a lui Oo. Notez acele puncte cu M și m.

3. Unesc punctele M și m cu un segment de dreaptă, pe care îl prelungesc spre cercul mai mic pînă se intersectează cu dreapta Oo. Notez intersecția cu P. Aici e toată ideea metodei: prin acest P trec cele două tangente exterioare la ambele cercuri.

4. Aplic metoda de trasare a tangentei dintr-un punct la un cerc și găsesc tangentele exterioare.

Pentru tangentele interioare procedez exact la fel, cu singura deosebire că la pasul 2 aleg punctele M și m să fie pe părți opuse ale lui Oo. Atunci la pasul 3 obțin un punct P' aflat între O și o. Prin acest P' trec tangentele interioare la cercuri.

La punctul 2 nu e neapărat nevoie ca acele două drepte pe care le desenez să fie perpendiculare pe Oo. Ajunge să fie paralele între ele și să treacă prin centrele cercurilor. Dar perpendicularele se desenează foarte ușor, de-asta le-am preferat.

Dacă cercurile au dimensiuni egale, tangentele interioare se pot găsi la fel (deși P' este la mijlocul lui Oo, deci se poate găsi și mai ușor). Pentru cele exterioare e banal, cum ați spus.

---

Când am încercat să rezolv problema numită de mine "tip A", m-am orientat inițial spre o construcție ca a dumneavoastră, cu obținerea punctului P. S-a întâmplat însă ca cercurile mele să fie apropiate ca mărime, iar P cădea în afara foii. De aceea m-am gândit să caut o construcție grafică ce nu mă scoate în afara foii, sau a monitorului, ceea ce m-a condus la soluția dată.
 Încercând să fac diverse construcții grafice ajutătoare și pentru "tipul B", cu cercuri având diferite proprietăți, triunghiuri asemenea sau paralele tăiate de secante, am obținut tot felul de configurații greoaie, complicate, dintre care unele ar putea să ducă la soluție, sau nu.
 Concluzia pe care am tras-o cu privire la tangentele încrucișate și obținerea lor, este că soluția pe care ați dat-o e cea mai simplă, clară și elegantă, așa că mă opresc aici la rezolvarea bonusului pentru cazul B.