Question

Suma a zece numere naturale nenule și distincte este 62. Produsul numerelor se divide cu 60?

Answer 1

 

Notăm numerele cu ai (a indice i), unde i, natural, ia valori de la 1 la 10, cele 10 numere naturale  distincte. 

Rezolvarea presupune găsirea tuturor soluțiilor în N ale ecuației:

(1) a1+a2+...+a10=62. Presupunând că a1<a2<...<a10, căutăm valoarea maximă a lui a10, adică diferența dintre 62 și valoarea minimă pe care o poate lua suma a1+a2+...+a9. Cum această valoare minimă este dată de 1+2+...+9=45, rezultă a10=62-45=17. Aceasta înseamnă că, pentru orice ai>17, nu există 9 numere naturale distincte care să satisfacă (1).

Deci, o soluție a (1) este 1,2,3,4,5,6,7,8,9,17. 

Dacă a10=16, se observă ușor că unica soluție este a9=10, soluțiile mai mici rămânând neschimbate deoarece s-ar încălca ipoteza numerelor distincte.

Dacă a10=15, soluțiile pentru satisfacerea (1) sunt a9=11 sau a8=10.

Dacă a10=14, soluțiile pentru satisfacerea (1) sunt a9=12 sau a8=11 sau a7=10.

Dacă a10=13, soluțiile pentru satisfacerea (1) sunt a8=12 sau a7=11 sau a6=10. 

Dacă a10=12, a9=13 sau a6=11 sau a5=10. Acestea sunt toate situatiile posibile. De aici incolo, lucrurile se repeta. 

Constatăm că setul de soluții în N ale (1) conține totdeauna tripleta 3,4,5, iar in ultimul caz analizat avem ori tripleta 3,4,5, ori dubletul 6, 10, ori dubletul 5, 12. Cum 3*4*5=60, 6*10=60 si 5*12=60 rezultă că 60 este, în orice situație, un divizor al produsului a1*a2*...*a10. Q.E.D. 

Comments

Felicitari domul Puiu. Nu am vazut ca ati raspuns. Ma gandeam la a doua demonstratie

---

vedeti un pic  la "nu există 9 "

---

Da, am determinat ca cel mai mare numar din cele 10 este maxim 17. Pentru a10 (presupus de mine ca cel mai mare), daca a10>17, atunci nu exista 9 numere naturale distincte si mai mici , astfel incat a1+...+a10=62. Adica, oricum le-am cauta, ne va da mai putin decat 62. Incercati cu a10=18. Care ar fi 9 numere naturale distincte mai mici decat 18 care, adunate intre ele si apoi cu 18,  sa dea 62?

---

Scuzati, am citit neatent

---

Nicio problema. Apropo, va felicit si eu pentru strategia celei de-a  a doua solutii. Ce impune, totusi, sa luati in considerare "cele mai mici 10 numere..." in cele 3 cazuri ?

---

Mi-ati adus aminte de o replica de-a prof Nae Ionescu la examen.Mircea Vulcanescu  avea emotii, a intrat in sala si profesorul a cerut imediat carnetul sa-i treaca nota (inteleg ca atunci erau bile albe si negre).Studentul spune:nu ma-ntrebati nimic? Profesorul:nu te-ntreb nimic ca sa nu crezi ca stii ceva.
Conditia problemei.

---

Intrebarea ramane. De ce solutia trebuie cautata doar in domeniul celor mai mici 10 numere?

---

suma minima am comparat-o cu 62

---

Se poate si asa:

Vom demonstra că produsul numerelor se divide cu 60, prin reducere la absurd. Dacă niciunul dintre numere n-ar fi divizibil cu 3, atunci nici produsul lor n-ar fi divizibil cu 3, deci nici cu 60. Cele mai mici zece numere naturale diferite nedivizibile cu 3 au suma: 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + 10 + 11 + 13 + 14 = 75 > 62, așa că trebuie să existe printre cele 10 și numere divizibile cu 3. Analog, dacă niciunul dintre numere n-ar fi divizibil cu 4, atunci nici produsul lor n-ar fi divizibil cu 4, deci nici cu 60. Cele mai mici zece numere naturale diferite nedivizbile cu 4 au suma: 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 9 + 10 + 11 + 13 = 70 > 62, deci printre cele zece numere există și numere divizibile cu 4. În sfârșit, dacă niciunul dintre numere n-ar fi divizibil cu 5, atunci nici produsul lor n-ar fi divizibil cu 5, deci nici cu 60. Cele mai mici zece numere naturale diferite nedivizibile cu 5 au suma: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 11 + 12 = 65 > 62, deci printre cele zece numere se găsesc și numere divizibile cu 5. Din cele trei constatări rezultă că produsul celor zece numere se divide cu 3 x 4 x 5, adică cu 60.

---

Aceasta e solutia a doua a lui Trabuk. Ultima suma care verifica divizibilitatea cu 5 e 63 dar nu influenteaza rationamentul fiindca si 63>62.

Answer 2

mai "babeste"

1+2+.........+9=45⇒una din sume este alcatuita din 1,2,3,4,5,6,7,8,9,17. Daca  inlocuim oricare din cifrele de la 4 la 9 gasim :

(1,2,3,5,6,7,8,9,10,11);(1,2,3,4,6,7,8,9,10,12);(1,2,3,4,5,7,8,9,10,13);(1,2,3,4,5,7,8,9,11,12);(1,2,3,4,5,6,8,9,10,14);(1,2,3,4,5,6,8,9,11,13);(1,2,3,4,5,6,7,9,10,15);(1,2,3,4,5,6,7,9,11,14);(1,2,3,4,5,6,7,9,12,13);(1,2,3,4,5,6,7,8,10,16);(1,2,3,4,5,6,7,8,11,15):(1,2,3,4,5,6,7,8,12,14)

Daca am inlocui  una din cifrele 1,2,3 atunci unul din termeni s-ar dubla.

Daca am inlocui doua sau mai multe din oricare cifre de la 1 la 9 atunci termenii s-ar dubla, tripla sau suma lor ar fi mai mare de 62  .

.Sumele au in componenta  multiplii de 3, 4 si 5    ⇒ produsul termenilor sumelor este divizibil cu 60.

sau

Daca toate numerele ar fi impare (suma este para) ⇒suma celor mai 10 mici numere impare 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100⇒exista cel putin doua numere pare⇒produsul lor este divizibil cu 4

daca nu ar fi nici un numar divizibil cu 3⇒ suma celor mai mici 10 numere care nu sunt divizibile cu 3 este 1+2+4+5+7+8+10+11+13+14=75 ⇒ exista cel putin un numar divizibil cu 3 ⇒ produsul loreste divizibil cu 3

daca nu ar fi nici un numar divizibil cu 5⇒ suma celor mai mici 10 numere care nu sunt divizibile cu 5 este1+2+3+4+6+7+8+9+11+12=63 ⇒ exista cel putin un numar divizibil cu 5 ⇒ produsul lor divizibil cu 5.

Produsul lor divizibil cu 60.