Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.3k comentarii

2.5k utilizatori

4 plusuri 0 minusuri
338 vizualizari
Cinci copii își etalează economiile. Fiecare își exprimă leii economisiți printr-un număr natural. Împreună au 47 de lei, fiecare copil are un număr de lei diferit de celălalt, dar, oricum am lua doi copii, unul dintre ei are un număr de lei de câteva ori mai mare decât celălalt. Câți lei are fiecare copil?
Junior (1.2k puncte) in categoria Matematica

3 Raspunsuri

6 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

 

Notăm cele 5 numere în ordine crescătoare: a<b<c<d<e. Avem b divizibil cu a adică b=ax1, c divizibil cu b adică c=bx2, d divizibil cu c adică d=cx3 și e divizibil cu d adică e=dx4. X1, x2, x3 și x4 sunt notații pentru x indice 1, 2, 3 și 4, și sunt numere naturale. Observăm că există următoarele relații: a=a, b=ax1, c=ax1x2, d=ax1x2x3 și e=ax1x2x3x4. a+b+c+d+e=47 devine :(1) a+ax1+ax1x2+ax1x2x3+ax1x2x3x4=47 => a(1+x1+x1x2+x1x2x3+x1x2x3x4)=47. Avem un produs a doua numere naturale, a și paranteză, al cărui rezultat este numărul prim 47. În această situație, a poate avea dar două valori în N, respectiv 47 (absurd) sau 1. Conchidem că a=1.
         Înlocuind în (1)  a=1, rezultă, după ce îl mutăm pe 1 în memrul 2 cu semn schimbat, x1+x1x2+x1x2x3+x1x2x3x4=46 => x1(1+x2+x2x3+x2x3x4)=46. Analog cu raționamentul prin care l-am determinat pe a, avem pentru x1 singurele valori posibile în N, x1=1 (absurd deoarece conduce la negarea ipotezei inegalității sumelor de bani), x1=46 (absurd pentru că sumele de bani sunt nenule iar în acest caz am avea a+b=47), x1=23 (absurd deoarece ar conduce la b=23, iar c ar trebui să fie minimum egal cu 46) și soluția x1=2 pe care o reținem. deci b=ax1 => b=2.
          Înlocuind din nou în (1) valorile obținute pentru a și b, avem, din c+d+e=47-(a+b)=47-3=44 => 2x2+2x2x3+2x2x3x4=44 => 2x2(1+x3+x3x4)=44 => x2(1+x3+x3x4)=22. Avem pentru x2 următoarele valori posibile în N : x2=1 (absurd din condiția de inegalitate), x2=22 (absurd deoarece conduce la c=44 => a+b+c= 47 => d=e=0 ), x2=11 (absurd deoarece ar conduce la c=22 și prin urmare d>44 ), astfel încât singură soluție pe care o reținem este x2=2 => c=4.
          Înlocuim valorile găsite pentru a, b, c, ceea ce conduce la d+e=47-(1+2+4)=40. Înlocuind în (1) avem 4x3+4x3x4=40 => 4x3(1+x4)=40 => x3(1+x4)=10. Analizând valorile posibile în N pentru x3, adică 1, 2, 5 și 10, constatăm că singură care nu conduce la absurd este x3=2, ceea ce conduce la d=cx3 => d=8. 
          Putem repeta raționamentul pentru determinarea lui x4, dar pentru simplificare îl deducem pur și simplu din a+b+c+d+e=47 => e=32.
         Deci sumele pe care copiii le au în buzunar sunt: 1, 2, 4, 8 și 32 de lei.
Senior (6.6k puncte)
selectat de
0 0
Un raspuns complet si corect.
0 0
interesant, avem b divizibil cu a, dar de ce b=ax1? noi ar trebui sa demonstram ca b=ax1, c=bx2 samd. eu as pune problema altfel. b=axn , c=bxm, d=cxo, e=dxp unde n,m,o,p sunt numere naturale, ar putea fi egale intre ele ,dar nu stiu acest lucru, ramane de vazut. scriem ecuatia: a+axn+bxm+cxo+dxp=47, si inlocuim b,c,d, in functie de a, dam factor comun a:      a(1+n+nxm+nxmxo+nxmxoxp)=47 rezulta logic a=1 si mai departe n(1+m+mxo+mxoxp)=46    n ar putea fi 1,2,23 sau 46 ,dar facand rationamentele necesare cad variantele 1,23 si 46.  n=2 e varianta corecta. mai departe m(1+o+oxp)=22  logic m=2 samd o=2 si p=4 abia acum inlocuind obtinem a=1, b=2, c=4, d=8, e=32.
0 0
Rationamentul este identic cu al meu, singura diferenta e de notatie. X1,...X4 reprezinta, asa cum am explicat, X indice 1,..., 4, numere naturale, si nu o inmultire, adica sunt acelasi lucru cu n, m, o, p din solutia "alternativa" propusa. In rest, La Multi Ani !
0 plusuri 1 minus
din enuntul tau reiese ca sumele sunt divizibile si divizori intre ele luate cate doua... citez : "unul dintre ei are un număr de lei de câteva ori mai mare", deci pusi cate 2 sunt 20 de cazuri (fiecare din cei cinci comparabil cu 4 ramasi)  in care fiecare suma mare e un multiplu a celei mici.  Am gandit problema si mi se pare ca e pusa eronat,...... asta in cazul in care nu ma insel..... lumineaza-ma.
Experimentat (1.7k puncte)
3 plusuri 0 minusuri
32, 8, 4, 2, 1
Novice (115 puncte)
...