Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

1 plus 0 minusuri
630 vizualizari
Cate numere dintre cele de mai sus sunt divizibile cu 13?(motivatie)
Junior (928 puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

 

Prefer să nu editez primul meu răspuns greșit si să-l las pentru luare aminte, pentru mine și pentru cine va face ca mine. M-am repezit la inducția completă fără să țin cont de faptul că problema se referă la o proprietate pe care o au doar anumite numere și nu la o regula căreia i se supun sau nu toate în bloc. Deci, soluția:
Verificând primele 5 numere din sir, eventual utilizând regula lui 1001 pentru numerele mai mari, ajungem la 1222221, divizibil cu 13. Regula de formare a următorului număr, prin care să păstrăm forma cerută este: 1222221*10^6+1222221=1222222222221 (11 de doi), și el divizibil cu 13. Mai departe, aplicând același algoritm, avem 1222222222221*10^6+1222221=1222222222222222221 (17 de doi), divizibil cu 13. Pe același algoritm vom obține numere în care cifrele 2 vor fi în număr 23, 29 s.a.m.d. adică o progresie aritmetică cu rația 6. Pentru un număr al cifrelor de 2 egal cu 2012, vom avea (2012-5):6=334 (ramane un rest care nu conteaza) de numere  de forma propusă, divizibile cu 13, la care se adaugă cel determinat pe poziția 5, adică 334+1=335. Încă odată,scuze pentru primul răspuns. Dixi et salvavi animam meam. 
Senior (6.6k puncte)
0 0
Sunteti incantator
0 0
Incercati si cu criteriul cu 13?
0 0
Da, de fapt algoritmul prin care construiesc numerele, pornind de la 1222221 are în vedere tocmai posibilitatea aplicării criteriului de divizibilitate cu 13. Adaug 6 cifre sub forma 222221, înlocuind pe 1 din coada numărului anterior cu 2, obținând un număr de forma impusă, 12...21. În acest fel ne asigurăm că noul număr e divizibil cu 13, adică 222-221=1, ceea ce, pentru numărul 1222221 conduce la rezultatul 1001, divizibil cu 13, iar pentru numerele mai mari, aplicarea succesivă a criteriului conduce tot la 1001. Important este să constatăm că numerele obținute astfel se lungesc cu rația 6, ceea ce ne dă posibilitatea să calculăm că de la 121 până la 12...21 - cu 2012 cifre de 2 - avem 335 de multipli de 13.
2 plusuri 0 minusuri

 

1. Observăm că un număr format după algoritmul din ipoteză este întotdeauna multiplu de 11. Pentru a demonstra acest lucru folosim metoda inducției complete.
a) Pentru n=0 (unde n este numărul de cifre de 2) obținem 11, divizibil cu 11. Verificăm și pentru n=1 cu care obținem numărul 121, divizibil cu 11.
b) Presupunem că propoziția P(n) este adevărată, adică 10^(n+1)+2[10^n+10^(n-1)+...+10]+1=11k, unde k este număr natural (am descompus numărul de forma 122...221, cu n cifre de 2 în mijloc, în suma puterilor lui 10 înmulțite cu coeficienții corespunzători). 
Pentru P(n+1) expresia devine 10^(n+2)+2[10^(n+1)+10^n+...+10]+1=
=10^(n+2)+10^(n+1)+10^(n+1)+2(10^n+...+10)+1=10^(n+2)+10^(n+1)+11k=
[10^(n+1)](10+1)+11k=11[10^(n+1)+k]. ceea ce era de demonstrat, adică numerele de forma din enunț sunt divizibile cu 11.
2. Pentru ca ele să fie divizibile cu 13 este necesar ca factorul de forma [10^(n+1)]+k să fie divizibil cu 13. Puterile lui 10 se descompun în puteri ale factorilor primi ai lui 10, respectiv 2 și 5, deci termenul 10^(n+1) nu este divizibil cu 13. Prin inmultirea cu 11 ramane nedivizibil cu 13, iar la adunarea  cu orice k natural rezultă banal, tot prin inducție completă, că se obține un număr nedivizibil prin 13. Deci niciun număr dat în enunț nu e divizibil prin 13.
Și intuitiv, din observația că numărul este divizibil cu 11, se poate vedea că, pentru a obține un rezultat de această formă, 11 nu poate fi înmulțit decât cu numere în care cea mai mare cifră nu poate fi mai mare ca 1, iar 13 are cifra unităților egala cu 3. Numerelei trebuie sa fie de forma 111...1 sau  multipli ai acestora, deci sa se poata descompune in produse de forma 11...1*11...1.
Senior (6.6k puncte)
0 0
cel putin  unu 13/1222221
...