1. Observăm că un număr format după algoritmul din ipoteză este întotdeauna multiplu de 11. Pentru a demonstra acest lucru folosim metoda inducției complete.
a) Pentru n=0 (unde n este numărul de cifre de 2) obținem 11, divizibil cu 11. Verificăm și pentru n=1 cu care obținem numărul 121, divizibil cu 11.
b) Presupunem că propoziția P(n) este adevărată, adică 10^(n+1)+2[10^n+10^(n-1)+...+10]+1=11k, unde k este număr natural (am descompus numărul de forma 122...221, cu n cifre de 2 în mijloc, în suma puterilor lui 10 înmulțite cu coeficienții corespunzători).
Pentru P(n+1) expresia devine 10^(n+2)+2[10^(n+1)+10^n+...+10]+1=
=10^(n+2)+10^(n+1)+10^(n+1)+2(10^n+...+10)+1=10^(n+2)+10^(n+1)+11k=
[10^(n+1)](10+1)+11k=11[10^(n+1)+k]. ceea ce era de demonstrat, adică numerele de forma din enunț sunt divizibile cu 11.
2. Pentru ca ele să fie divizibile cu 13 este necesar ca factorul de forma [10^(n+1)]+k să fie divizibil cu 13. Puterile lui 10 se descompun în puteri ale factorilor primi ai lui 10, respectiv 2 și 5, deci termenul 10^(n+1) nu este divizibil cu 13. Prin inmultirea cu 11 ramane nedivizibil cu 13, iar la adunarea cu orice k natural rezultă banal, tot prin inducție completă, că se obține un număr nedivizibil prin 13. Deci niciun număr dat în enunț nu e divizibil prin 13.
Și intuitiv, din observația că numărul este divizibil cu 11, se poate vedea că, pentru a obține un rezultat de această formă, 11 nu poate fi înmulțit decât cu numere în care cea mai mare cifră nu poate fi mai mare ca 1, iar 13 are cifra unităților egala cu 3. Numerelei trebuie sa fie de forma 111...1 sau multipli ai acestora, deci sa se poata descompune in produse de forma 11...1*11...1.