Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,233 intrebari

6,400 raspunsuri

14,956 comentarii

2,024 utilizatori

Puncte pe cerc și probabilitatea de a obține un triunghi dreptunghic

3 plusuri 0 minusuri
211 vizualizari

Avem la dispoziție un cerc pe care avem 360 de puncte, distribuite uniform (să zicem că în dreptul fiecărui grad de pe cercul trigonometric, de la 0 la 359, e câte un punct). Alegem la întâmplare 3 dintre cele 360 de puncte și le unim. Care este probabilitatea de a obține astfel un triunghi dreptunghic?


Ca o observație ajutătoare, dacă în loc de 360 de puncte avem doar 4, poziționate la  0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} pe cerc, probabilitatea respectivă este egală cu unitatea (oricare 3 puncte alegem din cele 4, ele formează un triunghi dreptunghic).


Dacă în loc de 360 de puncte avem n puncte distribuite uniform, care este răspunsul?

a intrebat goguv Senior (5,998 puncte) Apr 23 in categoria Matematica

2 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Unind cele n puncte (n par) două câte două, avem Cn2 = n(n-1)/2 coarde de cerc posibile. Sunt n/2 diametre posibile, deci probabilitatea Pd ca o coardă de cerc să fie diametru este Pd = 1/(n-1). 

Laturile unui triunghi înscris în cerc sunt coarde ale cercului, deci fiecare are probabilitatea Pd de a fi diametru.

Probabilitatea ca un triunghi înscris,de laturi a, b, c, să fie dreptunghic, este egală cu probabilitatea ca una din laturile lui să fie diametru, adică P(a e diametru sau b e diametru sau c e diametru). 

Cele 3 evenimente se exclud reciproc, pentru că o latură și numai una a triunghiului înscris poate fi diametru. Prin urmare, probabilitatea reuniunii celor 3 evenimente este egală cu suma probabilităților luate individual, adică

P = 3/(n-1). Deci, pentru cazul particular din enunț, P=3/359.

a raspuns Puiu Senior (6,052 puncte) Apr 24
selectat de goguv Mai 6
Ideea plimbăreață s-a materializat foarte frumos.
Mulțumesc.

De fapt, se poate scăpa și de folosirea combinărilor pentru calculul probabilității ca o coardă să fie diametru.

Luând 3 puncte la întâmplare pe cerc, vedem că orice coardă care leagă unul din puncte cu altul, luat aleator din celelalte n-1 puncte, are probabilitatea de 1/(n-1) de a fi diametru, lucru valabil pentru fiecare din cele 3 laturi ale triunghiului format.

Singurul calcul aritmetic care mai rămâne e înmulțirea cu 3 de la sfârșit.

Oare s-ar putea scăpa și de ăsta?
Bună gluma cu numărul 3, dar o soluție mai scurtă ca asta din ultimul comentariu nu cred că este posibilă, doar dacă avem o revelație și nu trebuie să o demonstrăm. Felicitări pentru ea (soluția). Grozavă.
3 plusuri 0 minusuri

Alegând aleator punctul A pe cerc, triunghiul ABC este dreptunghic dacă ne aflăm într-una din aceste două situații:
1. Punctul B este diametral opus lui A, poziția lui C putând fi oricare. P1 = 1/359.
2. Punctul B nu este diametral opus lui A cu probabilitatea Pb = 358/359, dar punctul C este diametral opus ori punctului A ori punctului B cu Pc = 2/358. P2 = Pb*Pc = (358/359)*(2/358) = 2/359.
Răspunsul este dat de suma P = P1 + P2 =  1/359 + 2/359 = 3/359.

Pentru n puncte P = 3/(n-1). Pentru cazul ajutător oferit n = 4 și deci P =1.

a raspuns Gheorghiţa Experimentat (3,846 puncte) Apr 23
Foarte elegantă rezolvarea. Felicitări!
O să mai aștept totuși pentru votul final, poate apare ceva chiar mai elegant de atât :)

P.S.
Ați putea totuși ca ”dincolo” să nu mai fiți atât de criptică? :)
Ar mai fi totuși o observație de făcut, și anume că trebuie să avem la dispoziție un număr par de puncte.
Mai directă este formula: nr. triunghiurilor dreptunghice posibile / nr. total de triunghiuri, dar am luat-o mai "băbește".
Da, dacă numărul de puncte aflate la egală distanță este impar nu ar exista diametre.

Foarte frumos!

Putem și generaliza de la început. Luând un punct A din cele n, se vede ușor că se pot construi (n/2)-1 triunghiuri dreptunghice cu unghiul drept în A. Apoi observăm că se pot construi un total de C(n-1, 2) = (n-2)(n-1)/2! (combinări de n-1 luate câte 2) triunghiuri cu un vârf în A. Rezultă că probabilitatea ca triunghiul ABC să fie dreptunghic în A este PA= (n/2 - 1)/[(n-2)(n-1)/2] = 1/(n-1).

La fel pentru B și C, de unde P = PA+PB+PC= 3/(n-1)

Puiu, ca să o luăm și mai de-a dreptul cu combinările: pentru un diametru determinat de două puncte mai rămân pe cerc n-2 puncte, deci pentru un diametru avem n-2 triunghiuri dreptunghice. Cum sînt n/2 diametre posibile atunci vom avea (n-2)*n/2 triunghiuri dreptunghice posibile. Numărul total de triunghiuri este C(n,3). Obținem direct formula prin împărțirea celor două expresii.
Da, așa e, văzusem și eu după ce am scris comentariul, se obține direct formula finală împărțind numărul de triunghiuri dreptunghice posibile la numărul de triunghiuri posibile, deci nu mai e nevoie să adunăm 3 probabilități.

Mă gândeam dacă se pot face și mai puține calcule, parcă îmi umblă o idee prin cap dar deocamdată nu prinde contur :)

...