Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
370 vizualizari

Avem la dispoziție un cerc pe care avem 360 de puncte, distribuite uniform (să zicem că în dreptul fiecărui grad de pe cercul trigonometric, de la 0 la 359, e câte un punct). Alegem la întâmplare 3 dintre cele 360 de puncte și le unim. Care este probabilitatea de a obține astfel un triunghi dreptunghic?


Ca o observație ajutătoare, dacă în loc de 360 de puncte avem doar 4, poziționate la  0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} pe cerc, probabilitatea respectivă este egală cu unitatea (oricare 3 puncte alegem din cele 4, ele formează un triunghi dreptunghic).


Dacă în loc de 360 de puncte avem n puncte distribuite uniform, care este răspunsul?

a intrebat Senior (7k puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Unind cele n puncte (n par) două câte două, avem Cn2 = n(n-1)/2 coarde de cerc posibile. Sunt n/2 diametre posibile, deci probabilitatea Pd ca o coardă de cerc să fie diametru este Pd = 1/(n-1). 

Laturile unui triunghi înscris în cerc sunt coarde ale cercului, deci fiecare are probabilitatea Pd de a fi diametru.

Probabilitatea ca un triunghi înscris,de laturi a, b, c, să fie dreptunghic, este egală cu probabilitatea ca una din laturile lui să fie diametru, adică P(a e diametru sau b e diametru sau c e diametru). 

Cele 3 evenimente se exclud reciproc, pentru că o latură și numai una a triunghiului înscris poate fi diametru. Prin urmare, probabilitatea reuniunii celor 3 evenimente este egală cu suma probabilităților luate individual, adică

P = 3/(n-1). Deci, pentru cazul particular din enunț, P=3/359.

a raspuns Senior (6.6k puncte)
selectat de
0 0
Ideea plimbăreață s-a materializat foarte frumos.
1 0
Mulțumesc.

De fapt, se poate scăpa și de folosirea combinărilor pentru calculul probabilității ca o coardă să fie diametru.

Luând 3 puncte la întâmplare pe cerc, vedem că orice coardă care leagă unul din puncte cu altul, luat aleator din celelalte n-1 puncte, are probabilitatea de 1/(n-1) de a fi diametru, lucru valabil pentru fiecare din cele 3 laturi ale triunghiului format.

Singurul calcul aritmetic care mai rămâne e înmulțirea cu 3 de la sfârșit.

Oare s-ar putea scăpa și de ăsta?
0 0
Bună gluma cu numărul 3, dar o soluție mai scurtă ca asta din ultimul comentariu nu cred că este posibilă, doar dacă avem o revelație și nu trebuie să o demonstrăm. Felicitări pentru ea (soluția). Grozavă.
3 plusuri 0 minusuri

Alegând aleator punctul A pe cerc, triunghiul ABC este dreptunghic dacă ne aflăm într-una din aceste două situații:
1. Punctul B este diametral opus lui A, poziția lui C putând fi oricare. P1 = 1/359.
2. Punctul B nu este diametral opus lui A cu probabilitatea Pb = 358/359, dar punctul C este diametral opus ori punctului A ori punctului B cu Pc = 2/358. P2 = Pb*Pc = (358/359)*(2/358) = 2/359.
Răspunsul este dat de suma P = P1 + P2 =  1/359 + 2/359 = 3/359.

Pentru n puncte P = 3/(n-1). Pentru cazul ajutător oferit n = 4 și deci P =1.

a raspuns Experimentat (4.7k puncte)
0 0
Foarte elegantă rezolvarea. Felicitări!
O să mai aștept totuși pentru votul final, poate apare ceva chiar mai elegant de atât :)

P.S.
Ați putea totuși ca ”dincolo” să nu mai fiți atât de criptică? :)
0 0
Ar mai fi totuși o observație de făcut, și anume că trebuie să avem la dispoziție un număr par de puncte.
0 0
Mai directă este formula: nr. triunghiurilor dreptunghice posibile / nr. total de triunghiuri, dar am luat-o mai "băbește".
Da, dacă numărul de puncte aflate la egală distanță este impar nu ar exista diametre.
1 0

Foarte frumos!

Putem și generaliza de la început. Luând un punct A din cele n, se vede ușor că se pot construi (n/2)-1 triunghiuri dreptunghice cu unghiul drept în A. Apoi observăm că se pot construi un total de C(n-1, 2) = (n-2)(n-1)/2! (combinări de n-1 luate câte 2) triunghiuri cu un vârf în A. Rezultă că probabilitatea ca triunghiul ABC să fie dreptunghic în A este PA= (n/2 - 1)/[(n-2)(n-1)/2] = 1/(n-1).

La fel pentru B și C, de unde P = PA+PB+PC= 3/(n-1)

1 0
Puiu, ca să o luăm și mai de-a dreptul cu combinările: pentru un diametru determinat de două puncte mai rămân pe cerc n-2 puncte, deci pentru un diametru avem n-2 triunghiuri dreptunghice. Cum sînt n/2 diametre posibile atunci vom avea (n-2)*n/2 triunghiuri dreptunghice posibile. Numărul total de triunghiuri este C(n,3). Obținem direct formula prin împărțirea celor două expresii.
0 0
Da, așa e, văzusem și eu după ce am scris comentariul, se obține direct formula finală împărțind numărul de triunghiuri dreptunghice posibile la numărul de triunghiuri posibile, deci nu mai e nevoie să adunăm 3 probabilități.

Mă gândeam dacă se pot face și mai puține calcule, parcă îmi umblă o idee prin cap dar deocamdată nu prinde contur :)

...