Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.1k comentarii

2.2k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
234 vizualizari
Fie multimea {1,2,3,...,8,9} si o partitie P a acestei multimi.

Definim P(x) ca fiind cardinalul submultimi in care se afla elemenul x din partitia P.Sa se arate ca oricare ar fi partitiile P si Q exista x si y distincte astfel incat P(x)=P(y) si Q(x)=Q(y).
a intrebat Experimentat (2.3k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Mici precizări:
O partiție a unei mulțimi reprezintă un grup de submulțimi care nu au niciun element comun dar care reunite formează mulțimea respectivă.  
Un exemplu de partiție pentru  {1,2,...,8,9} este {1}, {2,3}, {4,5,6,7,8,9}.
Cardinalul unei mulțimi este numărul de elemente al mulțimii.
Daca P(x) = P(y) înseamnă că x și y aparțin aceleiași submulțimi sau se află fiecare, separat, într-o submulțime cu același număr de elemente. 

Pasul 1:se arată că în mulțimea M={1, 2,..., 9} există cel puțin 4 elemente cu același P(): 
- dacă partiția conține o submulțime de cel puțin 4 elemente, concluzia este evidentă
- dacă partiția este formată doar din submulțimi de 1, 2 sau 3 elemente, scriem 9 = a*1+b*2+c*3, a, b, c fiind numărul de submulțimi de 1, 2 și 3 elemente. Se observă că pentru a\tiny \geq4 sau b\tiny \geq2 sau c\tiny \geq2 există 4 elemente cu același P (dacă nu este prea limpede, de exemplu, pentru b=2 avem două submulțimi de câte două elemente, deci 4 elemente cu P=2). Mai rămâne a<4, b=1, c=1, caz exclus pentru că a*1+b*2+c*3 ar fi maxim 8. Pentru a sau/și b  sau/și c luând valori nule  nu mai insist.
Deci, în mulțimea M există cel puțin 4 elemente cu același P().

Pasul 2: scriind 9 = a*1+b*2+c*3+d*4+....+h*8+i*9 se observă că nu pot exista simultan 4 dintre variabilele a, b,...,i (cazul cel mai favorabil fiind  1*1+1*2+1*3+1*4 = 10 > 9). Concluzia este că numărul maxim de tipuri diferite de submulțimi (submulțimi cu număr diferit de elemente) este de 3.

Punând cap la cap concluziile de la pasul 1 și pasul 2, avem 4 elemente cu același P() pe care într-o altă partiție Q le putem distribui în maxim 3 tipuri de submulțimi și conform principiului lui Dirichlet ( al cutiilor, porumbeilor, etc.) două elemente vor cădea în submulțimi cu același Q().

a raspuns Experimentat (4.7k puncte)
selectat de
0 0
dapam uitat sa zic ce e partitia .

...