Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,305 intrebari

6,472 raspunsuri

15,032 comentarii

2,117 utilizatori

Patrulater inscriptibil

1 plus 0 minusuri
273 vizualizari

AB=BN=a, AM=b (b\neqa), MN=c (MN - diametrul semicercului). Valorile a,b și c sunt numere naturale.

De arătat că numărul c nu poate fi număr prim.

a intrebat Bzn Radu Junior (809 puncte) Aug 5 in categoria Matematica
editat de Bzn Radu Aug 10

1 Raspuns

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Într-un patrulater inscriptibil suma produselor laturilor opuse este egală cu produsul diagonalelor. Aceasta este teorema lui Ptolemeu. Concret, pentru acestă problemă: ac+ab= AN*BM. Ridicăm la pătrat și ținem cont că AN și BM sunt catete în triunghiurile dreptunghice AMN și BMN.
a2(b+c)2=(c2-b2)(c2-a2) => a2b2+a2c2+2bca2 = c2(c2-b2)-a2c2+a2b2 => 2a2c(c+b)=c2(c-b)(c+b) => 2a2 = c(c-b). Din această ultimă egalitate remarcăm că c trebuie să fie ori un multiplu de a (de forma ak, k natural) ori un divizor al lui a (de forma a/k). Cum c>a deducem că c = ak, (și c-b = 2a/k) un număr compus.

a raspuns Gheorghiţa Experimentat (4,101 puncte) Aug 5
selectat de Bzn Radu Aug 6

...