Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,367 intrebari

6,572 raspunsuri

15,040 comentarii

2,132 utilizatori

Găini ciupitoare

3 plusuri 0 minusuri
250 vizualizari
100 de găini stau cuminți în cerc. Deodată, fiecare găină își ciupește fie vecina din stînga, fie pe cea din dreapta, în mod aleator. Cîte găini ne putem aștepta să rămînă neciupite?
a intrebat AdiJapan Senior (11,789 puncte) Mai 16 in categoria Matematica

2 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Fiecare găină se poate afla într-una din următoarele situații:
1. Ambele ei vecine o ciupesc
2. Vecina din stânga o ciupește
3. Vecina din dreapta o ciupește
4. Nici o vecină nu o ciupește
Evenimentele sunt independente și echiprobabile. Găina scapă neciupită doar în cazul 4, deci cu o probabilitate de P=1/4.
Numărul de găini neciupite la care ne putem aștepta este 100*P = 25.
Cum rezolvarea pare simplă s-ar putea să mă aflu în situația neplăcută ca ea să fie total greșită.

a raspuns Gheorghiţa Experimentat (4,138 puncte) Mai 16
selectat de AdiJapan Mai 17
Eu am gândit-o identic cu dvs. Deci, dacă e de greșit, greșim la fel :). Dar nu văd ce poate fi greșit.

Probabilitatea ca o găină să scape neciupită e ca vecina din dreapta să ciupească-n dreapta iar cea din stânga să ciupească-n stânga, adică (1/2)*(1/2)=1/4. Pentru valoarea așteptată, ea rezultă din definiție.

Tot așa am gîndit și eu. Iar rezultatul numeric l-am putut verifica cu un progrămel. Într-adevăr ies în medie 25 de găini neciupite. (Am verificat pe cîteva milioane de cazuri și media iese foarte aproape de 25.)

Dar nu înțeleg o chestie. Spuneți că „evenimentele sînt independente și echiprobabile”. Echiprobabile sînt cele patru situații. Dar care anume evenimente sînt independente? Bănuiesc că două, și anume ciupiturile servite de cele două găini vecine. Atunci raționamentul e corect.

Dar există o altă problemă cu independența: dacă găina numărul n ciupește în stînga atunci sigur nu ciupește în dreapta, deci ciupiturile primite de găinile n-1 și n+1 (ținînd cont și de circularitate) nu sînt chiar independente. Dar pentru că la final calculăm suma, lipsa de independență nu afectează rezultatul.

Ca fapt divers, problema asta a apărut zilele trecute în New York Times, într-o știre despre un elev de 13 ani care, la un concurs de matematică, a găsit rezolvarea în mai puțin de o secundă (!).

https://www.nytimes.com/2017/05/15/us/math-counts-national-competition.html

Tot ca fapt divers, din articolul respectiv mi-a plăcut problema cu monedele de 1, 5, 10 cenți. Deși pare greu să răspunzi la ea contracronometru, ea se rezolvă rapid cunoscând formula potrivită.
0 plusuri 0 minusuri
Maxim 50, minim... zero.
a raspuns Oniro Noir Novice (107 puncte) Mai 16
Cum ati ajuns la maxim 50?Eu am facut "un grafic" conform caruia nu pot fi mai mult de 40.
@Oniro Noir. Iar valoarea cerută este....?
Am ajuns asa...
Numarul de gaini este 100, numarul de ciupituri - 100.
n(0) - numarul de gaini neciupite, n(1) - numarul de gaini ciupite o data, n(2) - numarul de gaini ciupite de doua ori, si din stanga, si din dreapta :)
Atunci n(0) + n(1) + n(2) = 100 (nr. gaini) - dar, de asemenea,
0*n(0) + 1*n(1) + 2*n(2) = 100 (nr. ciupituri).
De aici => n(0) = n(2), sau 2*n(0) + n(1) = 100. Daca presupunem ca n(1) variaza intre 100 (toate ciupite o data, cum se intampla daca toate ciupesc in sens orar - sau antiorar) si 0 (toate sunt ciupite fie de doua ori, fie deloc), rezulta n(0) intre 0 si 50... Nu pariez insa pe corectitudinea ultimei presupuneri, nu cred ca n(1) poate merge neaparat pana la 0, pentru ca nu sunt variabile independente; cred ca se rezolva mult mai curat si corect cu probabilitati, dar m-a amuzat problema si am gasit la repezeala 'ecuatiile' de mai sus dupa ce m-am saturat si eu de grafice si desene :)
Dacă ar fi 4 găini, se vede simplu că numărul maxim de găini neciupite e de două, iar singura configurație posibilă este ca cele neciupite să stea una lângă alta, adică nu în cruce.

Pentru un număr de găini N multiplu de 4 - cum e și cazul problemei - putem așeza pe cerc configurația -n,n,c,c,n,n,c,c,...,n,n,c,c,- (cratimele de la începutul și sfârșitul șirului sunt locul în care se închide cercul). Aceasta e configurația cu numărul maxim de găini neciupite, n, și se vede că n=N/2 sau, în condițiile date, n=50.

Cum n minim e n=0 - se ciupesc 2 câte 2 sau toate ciupesc la dreapta sau toate la stânga, valoarea așteptată e media aritmetică a valorilor capetelor intervalului, adică (0+50)/2=25.

...