Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,290 intrebari

6,458 raspunsuri

15,021 comentarii

2,072 utilizatori

Care este probabilitatea ca dintr-un grup de 4 prieteni 2 să fie născuți în aceeași lună?

1 plus 0 minusuri
325 vizualizari
a intrebat goguv Senior (6,074 puncte) Mai 6 in categoria Matematica
Ținem cont că unii ani sînt bisecți? Dar de faptul că nașterile se produc ceva mai frecvent în unele anotimpuri față de altele? Dar de variațiile sezoniere ale mortalității infantile? (Observații minore, mai mult ca ghiont adresat lui zec, care a considerat că probabilitatea ca un om să fie născut într-o anumită lună e exact 1/12, fără a preciza simplificarea asta.)
Cred că am mai avut pe aici o întrebare de genul: care e probabilitatea ca dintr-o clasă de 30 de copii doi să aibă aceeași zi de naștere. Iar răspunsul e o probabilitate neașteptat de mare.
Nu m-ar deranja o rezolvare care sa tina cont de aceste statistici, cu cifrele cf statisticilor din Japonia post-WW2 si ptr cel putin 2, nu exact 2 :-)
Intradevar fiecare luna are o anumita pondere si o anumita frecventa care poate fi obtinuta de pe urma unui esantion.

1 Raspuns

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Multimea celor 4 prieteni creeaza o corespondenta in multimea lunilor ,de aceea numarul total de posibilitati e ca numarul de functii de la o multime de 4 elemente in alta de 12 elementa .Numarul total este 124.

Pentru cazul favorabil in care 2 prieteni sunt nascuti in aceesi luna,asta inseamna a numara functiile neinjective.Vom numara numarul functiilor injective dupa care cele neinjective fiind restul.

 Sa consideram f:{1,2,3,4}->{1,2,3....,12}

Pentru f(1) avem 12 valori posibile ,pentru f(2)avem 11 valori posibile deoarece numai putem avea  valoarea luata de f(1) si asa mai departe vom avea f(3) cu 10 valori si f(4) cu 9 valori .Astfel numarul de functii injective este 12x11x10x9 care de altfel reprezinta si numarul aranjamentelor de 12 luate cate 4.Astfel numarul functiilor neinjective este 124-12x11x10x9.

Probabilitatea este p=\frac{12^4-12*11*10*9}{12^4}=1-\frac{11*10*9}{12^3}=1-\frac{55}{12*4*2}= 1-\frac{55}{96}=\frac{41}{96}

a raspuns zec Experimentat (1,966 puncte) Mai 6
selectat de goguv Mai 8
Ce spuneți, ați răspuns pentru exact 2 prieteni sau pentru cel puțin 2 prieteni?
Pentru cel putin.Nu a precizat in enunt sa fie exact 2,doar sa fie 2..

Parcă, de obicei, când se dorește cel puțin se specifică acest lucru. Dar numai goguv știe ce a intenționat.

Da, ar fi trebuit să specific cel puțin 2...

Foarte frumoasă soluția, e o abordare de matemetician 100%.

Dar cred că nu e prea simplu de înțeles pentru persoane neobișnuite să echivaleze cazurile favorabile cu mulțimea relațiilor neinjective ce se pot stabili între cei 4 prieteni și lunile anului.

O soluție ceva mai intuitivă ar fi:

Unul din cei 4 se naște în orice lună a anului. Probabilitatea ca un al doilea să nu se fi născut în aceeași lună ca primul este 1 - 1/12.

Probabilitatea ca un al treilea să nu se fi născut în aceiași lună cu oricare din primii 2 este 1 - 2/12. În sfârșit, probabilitatea ca ultimul să nu se fi născut în aceeași lună cu oricare din primii 3 este 1 - 3/12.

Cum nașterile lor sunt evenimente independente. probabilitatea ca nicio pereche din cei 4 să nu se fi născut în aceeași lună e dată de produsul probabilităților, adică (1 - 1/12)(1 - 2/12)(1 - 3/12). De unde, probabilitatea ca cel puțin 2 din ei să se fi născut în aceeași lună este cea complementară, adică P = 1 - (1 - 1/12)(1 - 2/12)(1 - 3/12) = 0,42708(3), adică exact valoarea raportului 41/96.

Dar, ca frumusețe a matematicii, îmi place mai mult soluția Dvs. Felicitări!

@Puiu:

Foarte frumoasă și ușor de înțeles soluția propusă de dvs. Păcat că nu ați postat-o ca răspuns. Mi-ar fi plăcut să o votez...
@Puiu:

Cred, totusi, ca mai am pana o sa va inteleg solutia. Nu imi e inca clar de ce probabilitatea ca un al treilea sa nu fie nascut in aceeasi luna cu oricare din primii doi este 1 - 2/12. Mie mi-a iesit 1 - 2/12 + 1/144. Nu luati in calcul si cazurile cand sunt toti 3 nascuti in aceeasi luna?

Probabilitatea ca al treilea să  fie în aceeași lună cu primul e 1/12. Probabilitatea ca al treilea să fie în aceeași lună cu al doilea e 1/12. Asta indiferent dacă primul și al doilea sunt în aceeași lună sau nu.

Probabilitatea ca al treilea să fie în aceeași lună cu primul sau al doilea e 1/12 + 1/12 = 2/12, iar negata ei e 1 - 2/12.

Nu e cazul aici să aplicăm formula 

P(AsauB)=P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)*P(B).

Ideea de rezolvare este calculul probabilității evenimentului complementar, adică pleacă de la ipoteza de negare a cincidenței lunilor de naștere, ceea ce înseamnă că mulțimile de evenimente sunt considerate disjuncte iar P(A)*P(B)=0.

Dar observația e una de finețe și voi mai reflecta la ea.

Eu nu am folosit nicio formulă, ci pur și simplu am înșirat toate cazurile posibile de distribuție a lunilor de naștere a celor 3 (toate combinațiile posibile a câte 3 luni, eliminându-le, drept cazuri defavorabile, pe cele în care a treia lună de naștere coincidea cu măcar una din primele 2 luni de naștere). Ce nu mi-e foarte clar e dacă toate aceste cazuri posibile de combinații de câte 3 luni sunt și echiprobabile.

Undeva vă complicați.

Lăsând la o parte orice formule și teorii, dacă numărăm băbește cazurile nefavorabile, ajungem la probabilitatea pe care am calculat-o.

a.Dacă primul s-a născut în vreo lună a anului, avem un caz favorabil din 12 posibile ca al doilea să se fi născut în aceeași lună, și 11 cazuri nefavorabile din 12 posibile. Probabilitatea cazurilor favorabile este deci 1/12 iar a celor nefavorabile, complementară cu ea, e 11/12 sau 1 - 1/12.

b.Continuând inventarierea cazurilor nefavorabile,celui de-al treilea îi revin 2 variante de a  se fi născut în aceeași lună cu unul sau altul din primii 2 din 12 posibile, deci cu o probabilitate de 2/12, și 10 variante din 12 posibile de a se fi născut în luni diferite față de oricare din primii 2, deci cu o probabilitate a cazurilor nefavorabile de 10/12 sau 1 - 2/12. 

Evenimentele nefavorabile de la pasul a. și de la pasul b. sunt independente și probabilitățile lor se înmulțesc, deci până aici probabilitatea cazurilor nefavorabile ajunge (1-1/12)(1-2/12).

Mai adăugând câte un prieten, numărarea cazurilor nefavorabile continuă la fel, iar noua lor probabilitate se înmulțește cu rezultatul parțial anterior.

Dar gândiți-vă la problemă în termenii Sfântului Zar.

Problema revine la calculul probabilității de a da cel puțin o dublă prin aruncarea a 4 zaruri cu 12 fețe fiecare.

Aruncați zarurile și calculați probabilitatea ca rezultatul să nu conțină nicio dublă. Analogia cu zarul răspunde și întrebării dacă evenimentele sunt echiprobabile. Sunt, pentru că am folosit tot timpul ipoteza că lunile sunt egale și ca durată și ca pondere a nașterilor, deci zarul e un dodecaedru perfect.

La întrebarea dacă  iau în calcul posibilitatea ca cei 3 să se fi născut în aceeași lună, răspunsul este nu. Pentru că inventariez cazurile nefavorabile și calculez probabilitatea ca ele să se producă. Iar situația pe care o descrieți intră la favorabile.

Țineți-mă un pic de mână ca pe un copil de clasa a 4-a și ajutați-mă să înțeleg unde greșesc :)
 

Pentru cazul cu 3 persoane, dacă judecăm problema în termenii unor triplete (A, B, C) care să conțină lunile de naștere ale celor 3 oameni, avem 123 triplete posibile, din care cazurile defavorabile sunt de forma (Ianuarie, Ianuarie, Ianuarie), (Ianuarie, Februarie, Ianuarie), (Ianuarie, Ianuarie, Februarie) sau echivalente. Analizând toate aceste triplete posibile am ajuns la acel 1 - 2/12 + 1/144. Despre aceste triplete mă întrebam eu dacă sunt echiprobabile.

E corect 12, sunt corecte exemplele de triplete de cazuri nefavorabile, cred că greșiți undeva la socoteli. 

Cazurile nefavorabile le grupați corect în submulțimi ordonate de câte 3 elemente, ale unei mulțimi de 12 elemente. Când spun ordonate, înseamnă că {a,a,b} e diferit de {a,b,a} și de {b,a,a}, ele reprezintă 3 cazuri nefavorabile distincte. 

Dar asta e chiar definiția aranjamentelor de 12 luate câte 3. Avem, deci, numărul cazurilor nefavorabile A123 =  12!/(12 - 3)! = 10*11*12.

Probabilitatea cazurilor nefavorabile este, deci :

P = 10*11*12/123 = (11/12)*(10/12) = (1-1/12)(1-2/12)

Eu știam că la aranjamente, dintr-o mulțime cu n elemente se iau k diferite, în toate combinațiile posibile. Aici pare a fi vorba de altă situație. Dar mă mai documentez.

Bun, hai să luăm 12 elemente distincte și să le combinăm câte 3.

Sunt C123 = 12!/3!*(12-3)! combinări de triplete de forma (a,b,c) cu a,b,c diferite. Să vedem câte triplete ce conțin două elemente identice putem construi.

Adică în câte feluri unul din cele 3 elemente poate înlocui pe fiecare din celelalte două. Cum a nu se poate înlocui pe el însuși, rezultă tripletele (a.a.c) și (a,b,a) cu a dublat. Analog, rezultă (b,b,c) și (a,b,b) cu b dublat și (c,b,c) și (a,c,c) cu c dublat. Fiecare tripletă poate deci să conțină un dublet în 6 feluri, sau P3 = 3! feluri. 

Un număr de C123  a câte 3 numere distincte, înmulțit cu 3! devine 

C123*3! = [12!/3!*(12 - 3)!]*3! = A123  ,care e chiar numărul de triplete în care un element  apare de două ori.

Dacă mă întrebați de ce n-am luat în calcul triplete de forma (a,a,a), vă răspund: ele nu adaugă efecte asupra probabilității.

Adică, dacă primul e în aceeași lună cu al doilea, iar al treilea e în aceeași lună cu primul, consecința că al treilea e în aceeași lună cu al doilea nu e element favorabil distinct. 

Da. E corect. Greșisem la calcule, deși încă nu îmi e clar unde. Oricum, gândind cât timp am fost plecat am realizat că aveți dreptate în ce privește formula cu aranjamentele. Și că rezultatul final este corect. Ceea ce era, desigur, evident, mai ales că ați oferit și explicația cu zarurile, foarte intuitivă.

Ca să recapitulez, tripletele de câte 3 luni, toate diferite, care în cazul nostru reprezintă cazurile nefavorabile, sunt în număr de A_{12}^{3}. Astea fiind toate cazurile în care al treilea nu s-a născut în aceeași lună cu oricare dintre ceilalți 2. De unde probabilitatea este P-ul dat de dvs. cu 2 mesaje mai sus.

Acum îmi e și mie totul clar. Mulțumesc.

De fapt în ultimele mele două comentarii am reușit să mă încurc. Adică am făcut totul ca să construiesc un raționament corect și să ajung la un rezultat corect plecând de la o ipoteză greșită pe care n-am observat-o, aceea că tripletele nefavorabile arată așa cum le-ați exemplificat dvs. Nu arată așa, adică elementele lor nu se dublează sau triplează. Ce ați arătat sunt exemple de cazuri favorabile,

Deci, simplu, cazurile nefavorabile sunt triplete de forma (a,b,c), cu a,b,c distincte. În plus ele sunt ordonate, adică (a,b,c) e diferit de (a,c,b) și reprezintă două cazuri nefavorabile diferite. Iar numărul de astfel de triplete ordonate este A123.

Luați exemplul a două zaruri normale, ca să nu ne mai complicăm. Sunt un total de 36 de posibilități, dintre care 6 restituie cîte o dublă. Numărul de neduble este A62 = 30. La fel și aici, doar că avem 4 zaruri a 12 fețe.

De aici și mica mea confuzie. Dar asta e ideea. Tripletele alcătuite din luni diferite sunt cazurile defavorabile. Eu așa am scris mai sus (și undeva chiar mai sus am scris și cum spuneți dvs.) și am fost convins că așa ați gândit.  :)

Așa am gândit tot timpul doar că, gândindu-mă cum să vă duc mai bine de mână, m-am trezit eu dus de mână :)

...